“蚁群算法”在高职数学教学中的渗透

张玉兰（南京铁道职业技术学院 江苏 南京 210015）

“蚁群算法”在高职数学教学中的渗透

张玉兰
（南京铁道职业技术学院 江苏 南京 210015）

从高职数学教学内容、应用性例题、数学建模三个方面，对将蚁群算法渗透到高职数学教学中的途径进行了初步研究，并提出了几点想法和建议。

高职；数学教学；“蚁群算法”

生物学家经过大量细致的观察研究发现：现实中，蚂蚁个体之间是通过一种称之为信息素的物质进行信息传递的。蚂蚁在运动过程中，能够在所经过的路径上留下该物质，而且蚂蚁在运动过程中能够感知这种物质的存在及其强度，并以此指导自己的运动方向，蚂蚁倾向于朝着信息素强度高的方向移动。因此，由大量蚂蚁组成的集体行为便表现出一种信息正反馈现象：从某一路经走过的蚂蚁越多，则后来者选择该路经的概率就越大。蚂蚁个体之间就是通过这种信息交流达到搜索食物的目的。“蚁群算法”就是通过模拟现实中的蚁群搜索食物的过程，实现求解比较困难的组合优化问题的目的。该方法是受到对真实蚁群行为研究的启发而提出的，主要特点为：通过正反馈、分布式协作寻找最优路径。其基本原理就是信息正反馈（如图1所示）。图中A是巢穴，E是食物源，H、C为障碍物（即蚂蚁只能经由H或C由A到达E或由E到达A），d为两点间距离，1为蚂蚁经过后留下的信息素，假设初始时刻各路径上都无信息素存在，则位于B和D的蚂蚁可以随机选择路径（从统计学的角度，初始时刻选择路径BCD和BHD的概率相同，都为50%），最终通过信息交换，蚂蚁最终选择BCD（此为巢穴到食物源的最短路径）。

图1 蚁群系统示意图

1991年，意大利学者M.Dorigo等人首先提出了 “蚁群算法”。该算法作为一种启发式仿生算法，在以下领域具有广泛的应用：一是优化问题的求解；二是基于“蚁群算法”的交通过程建模及规划问题求解；三是计算机领域；四是机器人设计及控制领域；五是电力系统应用领域；六是通信领域；七是化工领域；八是工程应用领域。广义“蚁群算法”的基本步骤如下：（1）初始化信息素矩阵、蚂蚁数目、循环次数；（2）确定搜索策略；（3）定义并计算转移概率（主要与信息素量有关）；（4）进行直接邻域搜索；（5）修正信息素矩阵；（6）当所有蚂蚁都完成一次移动后统计结果：若不满足接受条件，取消本次迭代步骤（2）～（4）的结果，转步骤（2）；若连续多次迭代蚁群统计结果不变，则对蚁群进行扰动。可采取的扰动方法为扩大可见域、扩大邻域搜索范围；若既满足接受条件，且循环次数小于规定的循环次数，则转步骤（2）；否则，输出结果。

高职院校的教学目标是培养技能型、实用型人才。高等数学作为高职院校学生的一门基础理论必修课，目的在于培养应用型人才“所必须具备的基本数学素质”。近年来，高职院校数学教学围绕“以应用为目的，以必需、够用为度”的原则，对教学内容、教学方法和教学手段等方面的改革进行了一定的探索和实践，并初见成效。笔者拟结合“蚁群算法”，对高职数学教学改革做进一步研究。

基于“蚁群算法”的广泛应用及对“蚁群算法”的研究日趋成熟，将其应用于高职数学教学中，不仅可以增加学生的数学知识面，而且可以提高学生的数学素质。

首先，应在高职数学的教学内容中融入“蚁群算法”。

近几年，作为推动数学教学改革的突破口，大多数高职院校都尝试着将数学建模的思想方法和知识内容融入数学课堂教学中，甚至开设数学建模课，指导学生参加全国大学生数学建模竞赛。而“蚁群算法”在求解优化模型、规划模型，特别是离散型的优化问题方面具有较强的优势：一是通用性，即可用于求解同一类型的优化问题，从TSP问题到ATSP，只需作直接扩展即可；二是稳定性，即只需对其作很小的改动，就可将其用于求解其他组合优化问题，如二次分配问题和作业安排调度问题；三是群体性，即该算法允许采用正反馈座位搜索机制；四是并行性，即该算法适用于并行操作，在求解大规模的优化问题时，不仅可以从算法本身的优化出发提高求解效率，而且可以从算法的执行模式出发进行研究。因此，可以在高职数学的教学内容中融入“蚁群算法”，即在高职的数学教学内容里可加入“蚁群算法”这一知识点。

高职数学教学应有利于学生思维能力的培养，有利于后续专业课程的学习，有利于学生的可持续发展。根据这些特点，可将高职数学教学分为三个阶段进行：（1）基础性数学教学阶段，主要教学内容是微分学、积分学；（2）应用性数学教学阶段，主要教学内容可根据具体专业适当增设“蚁群算法”、概率统计、复变函数、线性代数等知识点，如自动控制、机车车辆等专业的学生可增设10课时的“蚁群算法”（只介绍原理、步骤及计算机如何实现）等等；（3）专业性数学教学阶段，主要教学内容也是根据具体专业适当增设“蚁群算法”、傅立叶变换、图论等知识点，“蚁群算法”的课时较应用性数学教学阶段应适当增加，如计算机、通信等专业的学生可增设20课时的“蚁群算法”（除了基本的“蚁群算法”原理、步骤及计算机实现外，可增加一些改进的“蚁群算法”，如最大—最小蚂蚁算法、多重“蚁群算法”）等等。

当然，在教学内容的选择上，应坚持“以应用为目的，以必需、够用为度”的原则，既要满足人才培养的应用性（高职院校的特点），也要照顾学生的可持续发展，同时尽量保持本学科知识体系的系统性，这样效果才会更好。

其次，可在某些应用性例题中渗透“蚁群算法”。

数学知识的应用是数学教学的一个重点内容之一，数学应用题就是考查学生应用数学知识解决简单实际问题能力的基本方式，是最简单的一类数学建模问题。针对优化问题，特别是离散型优化问题，可渗透“蚁群算法”，这样既可让学生了解“蚁群算法”的方法步骤，又可使学生体会数学在解决实际问题中的重要作用，同时有利于在教学中贯彻理论与实际相结合的原则，逐步培养提高学生分析问题、解决问题的能力。其基本步骤如下：

第一步：问题引入。即针对具体的知识点导入相应的现实问题，如对于微分或导数的应用性问题，可引入一些极值或最值的实际问题。

第二步：问题分析。对具体问题进行探究、分析，确定决策变量。

第三步：模型建立。根据前两步，建立具体的数学模型（优化模型：LP模型、0-1模型等）。

第四步：问题求解。首先，用高等数学的相应知识进行求解；其次，使用“蚁群算法”进行求解（仅仅局限于用计算机演示结果）。

案例1：铁路上AB段的距离为100km，工厂C距A处 20km，AC垂直于AB，为了运输需要，要在AB线上选定一点D向工厂方向修筑一条公路，已知铁路上每吨千米的货运费用与公路上每吨千米的货运费用之比为3∶5，为了使货物从供应站B运到工厂C每吨货运的总费用最省，问D点应选在何处？

解：先引入决策变量，设D点选择在距离A处xkm的地方；再对问题进行分析，建立如下数学模型：·，x∈[0，100]最后用“蚁群算法”对此优化模型进行求解，得到如下最优结果：x=15km这与教材上提供的用微分法求解的结果一致。然后进行总结、归纳，从而可进一步巩固第二章微分或导数这一知识点。

再次，应在高职数学建模中渗透“蚁群算法”。

数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性、结论的明确性及体系的完整性，而且在于应用的广泛性。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展、数学理论与方法的不断扩充使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。在应用数学解决各类实际问题时，建立数学模型并能够成功求解是十分关键的，同时也是十分困难的。

图2 数学建模的全过程示意图

近几年，越来越多的高职院校开始开展数学建模活动（开设数学建模选修课、指导学生参加全国大学生数学建模竞赛等活动），其全过程如图2所示。其中，对于数学模型的解答，可以采用解方程、画图形、优化方法、数值计算、统计分析等各种数学方法，特别是数学软件和计算机技术 （如MATLAB、LINGO、MAPLE、SPASS、SAS数学软件和C语言等）。用“蚁群算法”进行数学模型（主要是优化模型和规划模型）的求解越来越多地受到广大学者的青睐。例如，2010年“高教杯全国大学生数学建模竞赛”的D题——对学生宿舍设计方案的评价，完全可以先根据要求建立一个优化模型，然后采用“蚁群算法”进行求解（具体步骤同案例1）。

以上几点只是对在高职数学教学中渗透“蚁群算法”的初步探讨，还需要作进一步研究和实践。随着社会的进步和科技的发展，“蚁群算法”将会成为运用数学知识解决实际问题的重要工具之一（如用“蚁群算法”进行火车车辆调度、电力系统优化、故障分析等），也终将会越来越多地渗透到高职教育教学中。

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（本文责任编辑：王恒）

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1672-5727（2011）10-0100-02

张玉兰（1982—），女，江苏盐城人，硕士，南京铁道职业技术学院讲师，主要从事运筹学与控制论、高等数学、数学建模的教学与教改工作。