执行器增益波动容忍区间分析*

刘子平 王福忠

（沈阳建筑大学信息学院）

1 引言

自20世纪80年代Zames提出H∞控制以来，许多H∞控制器的设计方法也相继提出，有关H∞控制问题都只是强调系统能够有效地抵御不确定性的影响，很少有人考虑部件故障的扰动对系统的影响。在仿真中看到：当系统部件发生故障时，传统意义上设计的控制器可能使系统失去原有的H∞性能，甚至失去稳定性。

本文针对一类线性系统的H∞指标问题，对H∞可靠控制执行器中各条通道故障，提出了增益波动的容忍区间的概念。即硬件发生增益波动的时候，在原来控制器不改变的前提下，考虑并计算出硬件最大承受力的区间范围。同时给出在不增加控制器能量的情况下（即不改变控制器的计算算法），通过硬件冗余的方法来实现系统的可调配优化问题。通过考虑未发生增益波动和发生增益波动前后的对比，使执行器硬件设计者根据执行器每条通道故障增益波动的容忍区间，判断出每条通道对闭环系统的重要程度，再根据其重要程度加强该通道的硬件冗余度，用以加强系统硬件设计的可靠性。

2 问题描述

考虑系统：

设计一个状态反馈控制器：

得到相应的闭环系统：

文献[9]基于系统，给出如下定义，该闭环系统是渐近稳定的，且对于正数γ＞0，系统外部扰动到被控输出的传递函数其中具有这样性质的控制律（2），称为是系统（1）的一个状态反馈∞H控制律。

定义 1若考虑系统的执行器增益波动，系统为：

执行器增益波动控制器形式为：

定义 2对于以上增益波动（6），如果执行器增益波动 Fi，其中使得闭环系统（5）的是渐近稳定，且对于正数，闭环系统外部扰动到被控输出的传递函数满足其中，具有这样性质时，则称区间为执行器第i条通道增益波动的容忍区间，简称第i容忍区间。其中

增益的区间越大，系统对该通道信号容许的信号波动越就大，一般情况下，

定义 3对于系统采用双重或更高重备份，或者建立冗余信号的通道形式，来对抗硬件缓解失效的办法叫做硬件冗余。

对于不同的增益波动给出的硬件各通道在增益波动发生时候的重要程度，称其为硬件冗余度。

硬件冗余度可以让硬件设计师根据其重要程度来加强双重或更高重备份，并且给出衰减或者激增信号的不同排布，进行硬件冗余信号的建立。

3 主要结果

文献[10]基于LMI，给出如下引理：

引理对于如下系统：

定理 1对于系统（1），存在一个状态反馈控制器，当且仅当存在一个对称正定矩阵X和矩阵W时，使得以下的线性矩阵不等式（LMI）：

成立。如果 LMI（7）存在一个可行解(X,W )，则

）是系统（1）的一个状态反馈控制H

∞

器。

证明：

根据引理，闭环系统（3）是渐近稳定的，且满足条件（2），当且仅当存在一个正定矩阵P，使得：

定理 2对于闭环系统（4），由LMI式（9）确定的正定矩阵P，以及矩阵W，下列m个优化问题有解，其中目标函数为：

约束条件为：

其中， Fi为执行器增益波动矩阵。其形式（6）区间为执行器故障增益波动的容忍区间，则存在一个可行解满足优化问题（12）和（13）。

证明：

获证。

4 数值仿真

考虑系统（1）其中数值矩阵为：

系统的状态反馈控制器为（2），若发生执行器增益波动则控制器形式为（5），其中执行器增益波动矩阵形式为（6）。

根据定理1，可以设计系统（1）在没有发生增益波动情况下的系统的状态反馈控制器：

图1 执行器增益波动引起H∞指标变化

由此可见，∞H指标在出现增益波动时变化明显，执行器第一条通道的增益波动的容忍区间为执行器第二条通道的增益波动的容忍区间

由此看出，执行器的第一条通道受增益波动相对第二通道波动较平缓，第二条通道受增益波动影响比较急剧，第三条通道衰减增益波动比第二通道增益更加急剧，激增增益波动不明显。那么，设计者可以根据此数据，减弱执行器第一条通道的硬件冗余度，增加第二通道的硬件冗余度，进而提高其可靠性，以保证系统的正常运行，减弱通道发生增益波动的可能区间范围。对于第三通道，减弱其激增增益区间的硬件冗余度，增加衰减增益的硬件冗余度，以保障第三通道衰减增益的可靠性。根据其重要程度，硬件工程师在选取硬件冗余时，3个通道的硬件重要性应为：第三通道衰减增益＞第二通道增益＞第一通道增益＞第三通道激增增益。

5 结论

在实际的控制系统中，执行器硬件结构设计的可靠性尤为重要，在保持系统本身性能不受影响的前提下，执行器不同信号通道容许信号波动的范围是不同的，也就是说执行器的每条通道增益波动对系统的影响是不一样的。本文给出了执行器各通道增益波动的容忍区间的概念及其含义。执行器第i条通道增益波动的容忍区间越小，说明此条通道出现增益波动时对系统的影响较大，即该条通道需要的硬件冗余越大；容忍区间越大，则反之。同时本文提供了在H∞指标问题中第i条通道增益波动的容忍区间计算方法，执行器硬件设计者可以根据执行器每条通道增益波动的容忍区间，判断出每条通道对系统的重要性，以重要程度大小来加强该通道的硬件冗余度，用以加强系统硬件设计的可靠性。数值仿真说明了此算法的可行性及重要性。

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