悬臂式倒立摆H∞控制设计及仿真

张克涵,顾李冯,王司令

摘 要：针对旋臂式倒立摆的稳定控制问题，建立了二阶旋臂式倒立摆系统的数学模型，运用连续系统线性鲁棒H∞最优控制理论，通过设计旋臂式倒立摆控制系统的鲁棒调节器，使倒立摆系统在闭环状态下稳定并具有较强的鲁棒稳定性。运用Matlab进行仿真，通过与传统线性二次型最优控制配置方法相比较，结果发现鲁棒H∞最优控制效果更好。

关键词：旋臂式倒立摆； 鲁棒控制； 线性系统二次最优控制； 线性矩阵不等式

中图分类号：TN911-34; TM571.6+2

文献标识码：A

文章编号：1004-373X(2011)09-0160-04

Control Design and Simulation of Cantilever Type Inverted Pendulum

ZHANG Ke-han,GU Li-feng,WANG Si-ling

(Northwestern Polytechnical University,Xian 710072,China)

Abstract： The second-order mathematic model for cantilever type inverted pendulum is built in this paper to sdabilize and control the cantilever type inverted pendulum. With the theory of linear robust optimal control,the systematic linear robust optimal controller is designed for the stability of the pendulum under the closed loop state. The simulation of the robust control was performed by means of Matlab. The final result shows that the robust optimal method is more effective than the traditional linear quadratic optimal control method.

Keywords： cantilever type inverted pendulum; robust control; linear quadratic optimal control; linear matrix inequality

0 引 言

倒立摆系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定系统。它是两足机器人、火箭垂直发射姿态控制等许多控制对象最简单的模型，所以被控制研究人员所看好。在对其控制的实践检验中已获得了许多控制理论，并不断地发掘新的控制理论与方法，可见倒立摆系统的研究有着重要的理论意义和应用价值。许多控制理论被用来控制它，如传统的PID控制和现代控制中的极点配置法等。本文通过鲁棒H∞最优控制方法对旋臂式倒立摆进行控制设计与仿真。

1 旋臂式倒立摆模型

旋转式倒立摆的结构模型［1］如图1所示。可以看到，与传统的倒立摆以小车和摆臂为研究对象不同的是，旋臂式倒立摆系统以电机带动驱动臂，控制摆动臂的状态。这样既能克服前者中小车往复运动弱点［2］，还能通过用控制电机电压的方式，在实际运用中实现良好的控制。

根据模型的物理结构对系统进行受力分析，如图2所示。

图1 旋臂式倒立摆结构图

图2 受力分析图

有了受力分析图后，运用物理力学及转动力学为系统的驱动臂绕转轴、摆动臂绕关节、摆动臂质心建立运动方程见式(1)~式(4)。系统参数见表1。

表1 系统参数

参数含义设定值参数含义设定值

fx /N驱动臂和摆动臂的水平分量M1 /kg驱动臂的质量0.195

fy /N驱动臂与摆动臂的作用力的垂直分量M2 /kg摆动臂的质量0.15

θ1 /rad驱动臂对垂直方向的角位移J0 /(kg•m2)转子及连接转子的转动惯量0.000 13

θ2 /rad摆动臂对垂直方向的角位移J1 /(kg•m2)驱动臂对质心处的转动惯量0.004

θ•1 /(rad/s)驱动臂质心角速度J2 /(kg•m2)摆动臂对质心处的转动惯量0.006 8

θ•2 /(rad/s)摆动臂质心角速度L1 /m驱动臂质心到转轴的距离0.1

G0 /(N•m/V)转动力矩与控制电压之比0.03L2 /m摆动臂质心到转轴的距离0.15

U /V控制电压L3 /m从关节到转轴的距离0.2

g /(m/s2)转子及连接件的转动惯量9.8μ1 /(N•m•s)转轴处的摩擦阻力系数

μ2/(N•m•s)关节处的摩擦阻力系数

驱动臂绕转轴旋转的运动方程:

(J0+J1+M1L21)1=G0U－μ11+μ2(2－1)+M1L1sin θ1－fxL3cos θ1+fyL3sin θ1

(1)

摆动臂绕关节旋转的运动方程:

(J2+M2L22)2=M2gL2sin θ2－μ2(2－1)－M2(L3sin θ1)″L2cos θ2+M2(L3cos θ1)″L2sin θ2

(2)

摆动臂质心的运动方程:

M2(L3sin θ1+L2sin θ2)″=fx

(3)

M2(L3cos θ1+L2cos θ2)″=fy－M2g

(4)

将式(1)~式(4)进行整理，得到非线性方程:

J0+J1+M1L21+M2L23M2L3L2cos(θ2－θ1)

M2L3L2cos(θ1－θ2)(J2+M2L22)

12+－(M1L1+M2L3)gsin θ1

－M2gL2sin θ2•

μ1+μ2－μ2－M2L3L2cos(θ2－θ1)2

-μ2－M2L3L2sin(θ1－θ2)1μ2

在θ1=0和θ2=0处进行线性化处理，即令sin θ=θ，cos θ=1，得到线性方程：

J0+J1+M1L21+M2L23M2L3L2

M2L3L2(J2+M2L22)1

2+－(M1L1+M2L3)gθ1－M2gL2θ2μ1+μ2－μ2

－μ2μ21

2=G00U

(6)

选择x=［θ1 θ2 1 2］琓为状态向量，y=［θ1 θ2］琓为输入向量，u=U为输入量，得到状态方程：

1000

0100

00J0+J1+M1L21+M2L23M2L3L2

00M2L3L2J2+M2L22θ12

1

2=

0010

0001

－(M1L1+M2L3)g0μ1+μ2－μ2

0－M2gL2－μ2μ2

1

2

1

2+00G00U

(7)

2 鲁棒H∞最优控制

由于传统的线性化、忽略次要因素、系统磨损、外界干扰都会使系统的真实状态难以用状态方程来完全描述。鲁棒控制为提高系统对干扰、摄动、测量误差等不确定性的抵抗能力提供了设计方法，并在近几年得以快速发展且得以应用。总的来说，H∞控制用来解决H∞范数描述的标称性能及鲁棒稳定问题。

按图3所示，H∞控制问题可描述为给定正数γ及一般被控对象G(s)，求反馈控制器K(s)，使得如图3所示的系统内部稳定，且由w到z的传递矩阵的H∞范数小于γ。其中：z为评价控制性能及模型摄动的输出向量；y为控制器输入向量；w为评价控制性能的输入向量；u为控制输入；γ为充分小的正数。将输入阵和输出阵对应进行分块化，得下式：

zy=G11G12G21G22wu=AB1B2

C1D11D12

C2D210

xwu

(8)

则：

Hzw(s)=G11(s)+G12(s)K(s)[I-G22(s)K(s)]-1G21(s)

(9)

图3 反馈控制系统

本文以状态方程的各个矩阵为考察对象，求解存在扰动w(t)时，不确定线性倒立摆系统的鲁棒H∞最优控制问题。

不确定线性系统的描述如下：

(t)=(A+ΔA(t))x(t)+B1w(t)+B2u(t)

z(t)=C1x(t)

(10)

式中：x(t)∈R琻为系统的状态；u(t)∈R琺为系统的控制输入；w(t)∈R琾为系统的外部扰动；z(t)∈R琿为系统的输出；A,B1,B2,C1为已知常数矩阵，ΔA为具有适当维数的不确定时变实矩阵，具有如下形式：

ΔA=DF(t)E

(11)

式中：D∈R琻×r，E∈R琿×n为已知常数矩阵;F(t)∈R瑀×q为不确定性函数矩阵，并设F(t)满足：

Ω={F(t)|F琓(t)F(t)≤I,衪}

(12)

系统所对应的性能指标为：

J=∫∞0(x琓Qx+u琓Ru)dt

(13)

对于不确定线性系统以及相应的性能指标，如果存在一个状态反馈u=－Kx(t)，使得闭环系统对所有容许的不确定性ΔA，满足下面三个条件：

(1) 闭环系统是稳定的；

(2) 闭环系统是LQ意义下最优的；

(3) 当初始x(0)=0时，从系统的外部扰动输入w(t)到系统输出z(t)的传递函数Hzw(s)的‖Hzw(s)‖∞<γ，则称在反馈u=－Kx(t)下鲁棒H∞最优。

定理：给定常数γ>0，对于不确定线性系统和性能指标，存在状态反馈u=－Kx(t)，使闭环系统鲁棒H∞最优的充分必要条件是存在常数ε>0和正定矩阵P，使得:

A琓P+PA+γ－2PB1B琓1P－PB2R－1B琓2P+

εPDD琓P+1εE琓E+C琓1C1<0

(14)

应用Schur补引理结合式(14)可得到以下推论：给定常数γ>0，对于不确定线性系统式(10)和性能指标式(13)，存在状态反馈u=－Kx(t)，使闭环系统鲁棒H∞最优的充分必要条件是存在常数ε>0、矩阵X=X琓>0和Y，使得如下线性矩阵不等式成立：

φXY琓B1XC琓1XE琓D

*－Q－100000

**－R－10000

***－γ2I000

*** *－I00

** * ** －ε－1I 0

******－εI<0

(15)

式中:φ=AX+XA琓－B2Y－Y琓B琓2。若上式成立，则对应的鲁棒H∞最优控制律为:

u=－Kx(t)=－YX－1x(t)

(16)

有了线性矩阵不等式，就可以运用Matlab中LMI工具箱对不等式进行求解。

以上概念、定理和推论的具体论述过程参见参考文献［3-5］。

3 旋臂式倒立摆控制仿真过程

3.1 仿真参数计算

首先根据有关参数［1］，计算出各个状态方程标称值如下:

A= 0010

0001

-48.89.9500

21.78-26.3200

B= 002.89-1.29 C= 10000100

3.2 H∞最优控制设计

根据能控矩阵的秩和能观矩阵的秩都为4，可知最优控制及u(t)存在，所以可以给系统加上最优控制器，使得系统闭环稳定，且满足暂态性能指标。通常为了简化且使加权阵具有明显的物理意义，将Q选为对角阵，Q=diag{Q11 Q22Q33Q44}。同时要注意以下几个方面［2］：

(1) 由于系统模型是线性化的结果，为了使系统各状态变量能够在线性范围工作，要求状态变量不应过大。

(2) 闭环系统最好能有一对共轭复数极点，这样有利于克服系统的非线性摩擦，但系统主导极点的模不能过大，那样会导致系统频带过宽，对噪声过于敏感，使系统不能正常工作。

(3) 加权矩阵过小，会使控制能量大增，以致超过执行器能力，使放大器处于饱和状态。Qii是对xi的平方加权，Qii的相对增加就意味着系统对xi的要求变严格，在性能指标中的比重大，偏差状态相对减小。因为本系统主要的输出量为θ1和θ2，且在选取加权对角阵Q的各元素值时，用Q11代表驱动臂相对于垂直方向角位移的权重，Q22代表摆动臂相对于垂直方向角位移的权重，所以选取Q11=100，Q22=10。为了使Q为非奇异矩阵,选取Q33=Q44=1。r是对1控制量的平方加权，当r相对较大时，意味着控制费用增加，使得控制能量减小，反馈减弱；而r选取较小时，系统控制费用减小，反馈增加，系统动态响应迅速，选取R=r=1。

下面考虑摄动矩阵ΔA的选取。本文根据实际考察转轴处摩擦阻力系数μ1和关节处摩擦阻力系数μ2的变化给系统带来的摄动影响，并结合式(7)和式(16)得:

D=0000

0000

0099.698μ1+144.01μ2－144.01μ2

00－44.31μ1－161.47μ2－161.47μ2

式中:μ1=μ10+Δμ1;μ2=μ20+Δμ2;μ10=0;μ20=0;

Δμ1=0.05;Δμ2=0.002 6;E=I4;F(t)=I4。

通过调试和实际对比选取ε=0.06，γ=0.005，并令B2=B，C1=C，B1=［0 0 -3 -20］琓。

运用以上分析的方法并通过Matlab计算得:

K=［-4.813 9 -28.009 5.301 7 5.132 3］。

3.3 仿真结果及分析

通过选取摆角一，对直接运用二次型最优控制设计的系统与用H∞最优控制设计系统的响应，分三种情况进行比较。无摄动即Δμ1=0，Δμ2=0；第一种摄动情况为Δμ1=0.025，Δμ2=0.001 3；第二种摄动情况为Δμ1=0.037 5，Δμ2=0.001 95。

通过图4(a)，图4(b)响应曲线比较不难发现，采用线性二次型最优控制算法虽然在响应时间上比鲁棒最优控制快些，但其稳定时间明显慢于鲁棒最优控制，最重要的是其鲁棒性明显不如后者。无摄动情况下两者都能达到稳定，响应特性各有所长；但在第一种摄动情况下前者的系统稳定特性发生了大的改变，而鲁棒最优控制却只发生了很小的变化；到第二种摄动，线性二次最优控制已趋近于振荡，而H∞最优控制却还保持了原有的响应特性，并未发生大的改变。可见，鲁棒H∞最优控制器较线性二次最优控制具有更强的鲁棒稳定性和综合性能。

图4 旋转式倒立摆响应曲线

3.4 仿真程序

限于篇幅，部分关键程序如下：

lmiterm(［1 1 1 X］,A,1,′s′);

lmiterm(［1 1 1 Y］,-B2,1,′s′);

lmiterm(［1 1 3 -Y］,1,1);

lmiterm(［1 1 4 0］,B1);

lmiterm(［1 1 5 X］,1,C1′);

lmiterm(［1 1 6 X］,1,E′);

lmiterm(［1 1 7 0］,D);

lmiterm(［1 2 2 0］,-inv(Q));

lmiterm(［1 3 3 0］,-inv(R));

lmiterm(［1 4 4 0］,-gama^2);

lmiterm(［1 5 5 0］,-1);

lmiterm(［1 6 6 0］,-1/sigama*eye(4));

lmiterm(［1 6 7 0］,0);

lmiterm(［1 7 7 0］,-sigama*eye(4));

lmiterm(［-2,1,1,X］,1,1);

4 结 语

鲁棒H∞最优控制器具有良好的鲁棒稳定性，干扰、摄动抑制能力，兼具H∞和最优控制的优点，能够补充H∞性能指标无法反映工程品质和最优控制鲁棒性不强的弱点，是一般控制方法无法比拟的。本文通过理论分析，证明了运用鲁棒H∞最优控制可以使旋臂式倒立摆稳定并获得更加良好的鲁棒性，能为该理论在旋臂式倒立摆上的实际运用，提供了理论依据和参考。此外旋转式倒立摆系统又类似于简化的吊车吊臂，研究它在现实生活也有较强的实用性。

参考文献

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［2］ZHANG Jing. Application of Matlab in system control [M]. Beijing: Publishing House of Electronic Industry,2007.

［3］薛克安．鲁棒最优控制理论与应用［M］．北京：科学出版社，2008.

［4］梅生伟.现代鲁棒控制理论与应用(2)［M］.北京：清华大学出版社，2008.

［5］姜长生.现代鲁棒控制基础［M］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2005.

［6］刘叔军.Matlab控制系统应用与实例［M］.北京：机械工业出版社，2006.

［7］ZHANG Juan,CHEN Jie,LI Peng. Obstacle rotary inverted pendulum control via polytope techniques [C]// Proceedings of 2008 IEEE/ASME International Conference onMechtronic and Embedded Systems and Applications. Beijing: IEEE,2008: 597-601.

［8］史忠科.鲁棒控制理论［M］.北京：国防工业出版社，2003.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文