B－不变凸函数的新性质

李 婷，刘凌晨

（山西大学商务学院 理学系，山西 太原 030031）

0 引 言

1981年，Hanson在文献［1］中引入了凸函数的概念；文献［2－3］仿照将凸函数推广为拟凸函数和伪凸函数的方式，对不变凸性做了推广，给出了拟不变凸性和伪不变凸性的概念；1988年，T.Weir和B.Mond及T.Weir和V.Jeyakumar分别在文献［3］和文献［4］中引入了不变凸集和预不变凸函数的定义；1991年，作为对凸函数的推广，C.R.Bector和C.B.Singh在文献［5］引入了B－凸函数的定义；1993年，Bector，Suneja和Lalitha在文献［6］中推广了B－凸函数、伪B－凸函数和B－凸函数，并分别得到B－不变凸函数、伪B－不变凸函数和拟B－不变凸函数。

定义1［2］设S⊂Rn关于η：Rn×Rn→Rn是不变凸集，b（x，y）：S×S→R＋，设f（x）是定义在集合S上的可微实值函数，称f（x）在y∈S是关于η（x，y）的B－不变凸函数，若

如果f（x）在每一点y∈S关于η（x，y）是B－不变凸的，则称函数f（x）在S上关于η（x，y）的B－不变凸函数。

定义2［2］设S⊂Rn关于η：Rn×Rn→Rn是不变凸集，b（x，y）：S×S→R＋，设f（x）是定义在集合S上的可微实值函数，称f（x）在y∈S是关于η（x，y）的拟B－不变凸函数，若

如果f（x）在每一点y∈S关于η（x，y）是拟B－不变凸的，则称函数f（x）在S上关于η（x，y）的拟B－不变凸函数。

1 B－不变凸函数的一个性质

引理1［3］（封闭性） S⊂Rn是开集，f，g是定义在S 上的可微实值函数，f（x）≥0，g（x）＞0，x0∈S，假设f（x），－g（x）在x0点是关于η（x，x0），b（x，x0）的B－不变凸函数，则在x0点是关于的B－不变凸函数。

证明：∀x∈S，有

由于f（x），－g（x）在x0点关于η（x，x0），b（x，x0）的B－不变凸的，并且f（x）≥0，g（x）＞0，有

定理1 S⊂Rn是开集，f，g是定义在S上的可微实值函数，f（x）≥0，g（x）＞0，x0∈S，假设f（x），－g（x）在x0点是关于η（x，x0），b（x，x0）的B－不变凸函数，则在x0点是关于（x，x0）＝g2（x0）η（x，x0），b（x，x0）的拟 B－不变凸函数。

证明：∀x∈S，有

g（x0）［f（x）－f（x0）］＋f（x0）［g（x0）－g（x）］≤0上面不等式两端同时乘以b（x，x0）得：

由f（x），－g（x）在x0点关于η（x，x0），b（x，x0）是B－不变凸的，我们有

上面不等式两端同时乘以b（x，x0），得：

可得结论。

［1］ M A Hanson.On sufficiency of the Kuhn－tucker conditions［J］.J.Math.Anal.Appl.，1981，80（2）：544－550.

［2］B D Craven，B M Glover.Invex functions and duality［J］.J.Austral.Math.Soc.，（Ser.A），1985，39：1－20.

［3］T Weir，B Mond.Preinvex functions in multipleobjective optimization［J］.J.Math.Anal.Appl.，1988，136（1）：29－38.

［4］T Weir，V Jeyakumar.A class of nonconvex functions and mathematical programming［J］.Bull.Austral.Math.Soc.，1988，38：177－189.

［5］C R Bector，C Singh.B－vex functions［J］.J.Opti.Theo.Appl.，1991，71：237－253.

［6］C R Bector，S K Suneja，C S Lalitha.Generalized B－vex functions and generalized B－vex programming［J］.J.Opti.Theo.Appl.，1993，76：561－576.

［7］赵克全，黄应全.B－不变凸分式规划的最优性条件及对偶定理［J］.湖北民族学院学报，2004，22（3）：19－21.

［8］林锉云，董加礼.多目标规划的方法与理论［M］.长春：吉林教育出版社，1992.