威布尔分布无故障数据的可靠性评估

陆祖建，张仕念，张国彬，易当祥

（北京市清河大楼子八，北京 100085）

1 引言

两参数威布尔分布的分布函数是：

其中m为形状参数，η为尺度参数，t为工作时间。对于无故障数据的情况，文献 [1-2]已给出当形状参数m已知和未知时的两种评估方法。在实际工作中，采用哪一种方法更加符合实际是一个令人十分关心的问题。当然在对形状参数m能作出正确的假设时采用前一种方法是最好的。但实际上，当我们对产品的试验数据掌握得比较少，甚至还没有一个失效数据时，要对形状参数m作出正确的假设是十分困难的。这时就需要对采用哪种评估方法的决定作出选择。

本文通过一个例子，用两种方法分别给出其评估结果，进行对比分析，以引起注意。

2 两种评估方法

设n个产品试验了t1，t2，…，tn没有出现故障。

2.1 形状参数m已知时的可靠性评估

尺度参数η的点估计为：

尺度参数η的1-α单侧置信下限为：

a）基本可靠度的点估计

对于任意给定的工作时间t0，其基本可靠度Rm(t0)为：

基本可靠度的1-α单侧置信下限估计为：

b）任务可靠度的点估计[4]

如果产品的任务时间为tz，而该产品已累计工作时间为ts，则该产品完成该次任务的可靠度为：

2.2 形状参数m未知时的可靠性评估

设n个产品试验了t1，t2，…，tn没有出现故障，形状参数m未知。但通过相似产品的信息和工程分析可以给出形状参数的一个界限，如设0＜m1≤m≤m2， 其中 m1， m2为已知数。

对于任意给定的工作时间t0，其形状参数由下述方程解出：

当形状参数m确定后，其尺度参数的点估计、1-α单侧置信下限估计，基本可靠度的点估计R(t0)、1-α单侧置信下限估计RL(t0)和任务可靠度的点估计Rz (t0)、1-α单侧置信下限估计RLz(t0)形式上与式 (1)、 (2)、 (3)、 (4)、 (5)和 (6)相同，所不同的是此时式中的形状参数m不是已知的，也就不是固定的。对于一组固定的t1，t2，…，tn来说，m完全由工作时间t0及所假定的形状参数的一个界限0＜m1≤m≤m2所确定。

3 对比分析

下面以一个例子，用上述两种方法分别给出其评估结果。

例：某产品服从威布尔分布，已获得n=20个试验数据分别为： 2， 2， 2， 3， 3， 3， 5， 7， 9，11， 15， 20， 24， 28， 30， 32， 33， 34， 35， 38，无失效，分别用两种方法给出工作时间t0为4、2×4、3×4、4×4、5×4、6×4、 7×4、 8×4、 9×4、 10×4的基本可靠度点估计，基本可靠度的1-α单侧置信下限估计，以及每次任务时间tz=4的第1、2、3、4、5、6、7、8、9和10次任务可靠度的点估计，任务可靠度的1-α单侧置信下限。其中，对形状参数m已知的评估方法，取m=3；形状参数m未知的评估方法， 则取 m1=1， m2=10； 置信度 1-α=0.9。

根据以上数据可得以下结果，如表1、2、3、4和5所示。

表1 由取m1=1，m2=10确定的m

表2 基本可靠度的点估计

表3 基本可靠度的1-α单侧置信下限估计

表4 任务可靠度的点估计

表5 任务可靠度的1-α单侧置信下限

表2给出了当形状参数已知时（m=3）的基本可靠度点估计Rm和形状参数未知时的基本可靠度点估计 R；当工作时间分别为 4、2×4、3×4、 4×4、5×4、 6×4、 7×4、 8×4、 9×4、 10×4时的估计值，可以看到的Rm值普遍高于R的值；只有当t0=8×4时，由于式（7）解得的m=3.1364，与形状参数已知的m=3接近，因此其值也接近。

表3给出了当形状参数已知时（m=3）基本可靠度的1-α单侧置信下限估计RLm和形状参数未知的基本可靠度的1-α单侧置信下限估计RL，当工作时间t0取不同值时的估计值。与表2相似，RLm的值普遍高于RL的值，只有当t0=8×4时比较接近。

表4给出了每次任务时间为4，完成第1、2、3、4、5、6、7、8、9和10次任务时，形状参数已知时（m=3）的任务可靠度的点估计Rzm和形状参数未知时的任务可靠度的点估计Rz。可以看到，当完成第5、6、7、8任务时Rz的值高于Rzm的值，但其值不超过0.01，其它均为Rzm高于Rz。

表5给出了每次任务时间为4，完成第 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9和 10次任务时，形状参数已知时（m=3）的任务可靠度的1-α单侧置信下限RLzm和形状参数未知时的任务可靠度的1-α单侧置信下限RLz。当完成第7、8任务时RLz的值高于RLzm的值，但其值不超过0.01， 其它均为 RLzm高于 RLz。

需要指出的是，文献 [2]给出了当形状参数毫无所知时，求基本可靠度的1-α单侧置信下限估计的方法：

由式（8）可给出基本可靠度的1-α单侧置信下限估计，见表6。

表6 形状参数毫无所知时的基本可靠度的1-α单侧置信下限估计

表6中，当t0为4、2×4时，由于其小于t*=10.3929， t0为 10×4时大于 t(n)=38， 根据式（8）直接解得RL*的值，此时m不定。

再对比表 6和表 1， 表 6中 t0为 3×4、 4×4、5×4时， m 分别为 0.1227、 0.4017、 0.6869； 而表1中则根据式（7）中的相应规则，确定为1。t0为9×4时表6中的 m为14.0543，而表1中根据规则确定为10。对比表6与表3中的RL可以看到， 除 t0为 6×4、 7×4、 8×4时其值相等外（m 相等）， 其余均为RL*＜RL。

4 结束语

通过以上分析可以看到，当对形状参数毫无所知时，所得到的基本可靠度置信下限是最为保守的；随着对形状参数认识的增加，基本可靠度的置信下限就会增大。因此，坚持统计评估与工程评估相结合的原则，通过相似产品的信息和工程经验对形状参数作出一个较为精确的估计是十分必要的。

[1]赵宇，杨军，马小兵.可靠性数据分析教程 [M].北京：北京航空航天大学出版社，2009.

[2]陈家鼎.生存分析与可靠性 [M].北京：北京大学出版社， 2005.

[3]刘宏林，刘华，张可丽，等.失效个数极小情况下某继电产品的可靠性评定 [J].武汉化工学院学报，2001， 23（1）： 70-71.

[4]陆祖建，张仕念，刘雪峰，等.关于威布尔分布的若干问题 [J].质量与可靠性，2007，（6）：7-12.