机床导轨热误差优化计算中的近似模型方法

李郝林 应杏娟 迟玉伦

上海理工大学,上海,200093

0 引言

在精密机床的切削加工中,热源对加工精度的影响极大,提高工件的加工精度必须对机床的热变形作定量研究,并在加工过程中作合理控制与补偿。机床导轨与工作台的相对运动会产生大量的摩擦热,造成导轨与工作台的热变形,影响刀具与工件之间的相对位置关系,最终影响工件的加工精度。为提高刀具的加工精度,需要获得导轨整个行程范围内的热变形动态变化量,以便进行实时误差补偿。但是,对导轨全行程范围内进行热误差实时测量目前还没有有效的方法[1-4]。

随着有限元理论的不断完善和数值模拟技术的日趋成熟,数值模拟技术在热特性分析领域得到了广泛应用,成为热变形分析的重要手段。有限元数值模拟技术可以定量地计算出温度分布状态和由温度产生的热位移、应力和应变等数据,这些模拟结果对机床的热特性分析有一定的指导意义。但由于有限元分析边界条件的不确定性,故无法给出精确的计算结果,只能给出定性的分析结果。要得到接近实际值的最优计算结果,必须将有限元数值模拟技术与优化技术相结合[5-6]。文献[7-8]提出了有限元模型的实验校准方法,将计算结果与实验结果相比较,从而对有限元模型进行校准。本文提出了采用近似模型优化方法进行机床导轨热变形有限元模型边界条件优化选择的方法。采用试验设计方法进行数据采样,为了使数值模拟结果逼近实验结果,以导轨热变形计算误差平方和作为优化目标函数,以有限元分析的边界条件为设计变量,采用响应面法建立设计变量和目标函数的近似模型,利用导轨测量点位置处热变形的实际测量数据,修正有限元计算边界条件,从而得到接近实际测量值的全行程范围内的导轨热变形误差实时动态变化值。

1 响应面近似模型方法简介

1.1 响应面近似模型

在研究导轨热变形误差有限元分析过程中,由于有限元模型的边界条件很难在理论上精确确定,故使得有限元计算结果与实验结果之间往往存在明显的误差,为了缩小这种误差,本文借助响应面方法进行有限元模型修正。

响应面法以试验设计为基础,用于的处理多变量问题的建模和分析。通过近似构造一个目标函数响应y和一组设计变量x相关的低阶多项式,以显式的响应面近似模型逼近目标函数响应y与设计变量x之间复杂的隐式关系[9-11]。本文使用该方法,根据导轨热变形的实际测量数据,修正有限元模型的边界条件(对流传热系数和热源)。

工程中最广泛采用的响应面近似函数为二阶模型[12-13]：

式中,n 为设计变量总数;xi、xj为 设计变量;α0、αi、αii、αij(i＜j)为多项式的待定系数。

将上式转换成多元线性回归模型,可得统一的简单形式：

其中,β0、βi为待定系数,k是待定系数βi的个数。为了确定βi,需要做m次的独立实验,m≥k,通过求解得到相应的系数βi。对于4个设计变量的情况,待定系数βi的个数k=15,至少进行15次独立实验。

设ε为服从正态分布N(0,σ2)的响应面回归值与实验值之间的误差。为了估计二次多项式的系数βi,可以用最小二乘法,使误差平方和S最小,即

根据变分原理,令

解式(1)即可得到待定系数βi的无偏差估计值。以上是响应面法的基本原理及响应面系数求解的具体方法。

1.2 响应面模型评价指标

1.2.1 复相关系数R2

复相关系数R2描述响应面函数对实验数据的拟合程度,定义如下：

R2是一个在[0,1]之间变化的值,其值越接近1说明误差的影响越小,即回归方程越精确[14]。

1.2.2 响应面函数的显著性检验

通过方差分析和F检验确定回归模型是否可以作为有意义的近似模型。

服从F分布[14]。对于给定的显著水平α,由F分布表查出Fα(k,m-k-1),若F ＞Fα(k,m-k-1)成立,则认为在α水平下该响应面模型有意义。

2 数控机床导轨热误差的测量

热误差的测量实验在精密导轨试验台上进行,试验装置和传感器安装方式如图1所示。考虑工作台的运动问题,传感器选用非接触位移传感器,选用 HEIDENHAIN公司的capaNCDT6100精密位移传感器。对于数控主轴磨床类机床,轴向(Z方向)和纵向(Y方向)对工件加工精度影响不大,所以本文考虑分析具有典型意义的横向(X方向)热变形误差沿导轨运动方向的分布,坐标方向见图1。

图1 机床导轨热变形测量试验装置

沿导轨运动方向(Z方向)安装r个位移传感器(本文以3个传感器为例说明所提出的计算方法)。其中1个位移传感器放置在中间位置,其余2个分布在导轨两端,图1中C1、C2、C3测点位置即传感器安装位置。工作台运行速度为60m/min,连续运行240min(4h),每隔一定时间读取位移传感器的测量值,并根据测量值计算出水平方向的热变形量误差。

设传感器 1、2、3 的读数分别为 δ1(i)、δ2(i)、δ3(i),i=0,1,…,N(N为测量序号),本例设定每20min测量一次,共测量12次,则N=12。测量开始时主轴热变形为0,设传感器1、2、3的读数分别为 δ1(0)、δ2(0)、δ3(0),则第 i次测量 X 方向 1、2、3传感器位置处的热变形量分别为

3 机床导轨热特性分析响应面模型的建立

本文研究的对象(自制精密导轨试验台)主要由导轨、滑块、工作台、床身等组成,主要热源是滚珠导轨与滑块之间以及滚珠丝杠副的摩擦发热。

建立响应面模型之前,先通过对给定边界条件(发热量、对流系数等)导轨热变形进行有限元数值热变形分析,获得导轨全程范围内的热变形结果,并与实际实验结果比较。

计算中使用有限元分析软件建立并经过简化的导轨试验台有限元模型,如图2所示。简化原则为：①忽略对计算结果影响不大的细小结构;②试验台床身机架、丝杠等零件不参与建模;③床身底部用螺钉固定,在 X、Y、Z方向没有热位移。

温度场分析采用SOLID87单元,热变形分析转换为结构单元SOLID92。计算时假定环境温度为20℃。

图2中C1、C2、C3表示与实验中传感器位置对应的测点位置。当工作台进给速度为60m/min时,计算得到前后导轨和滑块表面的热流密度分别为1000W/m2和3000W/m2;导轨和床身静止表面与空气间的对流换热系数取10W/(m2◦K);当工作台运动速度为60m/min时,计算得到对流换热系数为50W/(m2◦K)[15]。

图2 导轨试验台有限元模型

在上述边界条件下,计算得到导轨运动4h的热误差分布如图3所示。计算值与实验数据比较,最大误差为 6.4μm,误差平方和为813μm2。可以看出,计算值和实验数据有较大的差别,这是因为有限元模型热源和边界条件的不确定性影响了计算精度。为使计算结果逼近实验结果,需要对影响计算结果的有限元模型的边界条件进行优化,以便对机床导轨热误差进行优化计算。

图3 热误差比较曲线(优化前)

本文提出应用近似模型方法进行优化计算,必须首先建立对应的数学模型,包括选取设计变量,设计目标函数,给出约束条件等。

3.1 目标函数

为了使数值模拟结果逼近实验结果,取导轨上3个传感器安装位置的热变形计算误差平方和作为目标函数,用F(Ω)表示,作为设计变量Ω的优化计算指标。

对C1、C2、C3测点热变形误差模拟计算值Δ1i、Δ2i、Δ3i与实际测量值δ1i、δ2i、δ3i进行比较 ,其

误差分别为 ω1i= Δ1i-δ1i;ω2i= Δ2i-δ2i;ω3i=Δ3i-δ3i,i为测量序号,i=0,1,…,N 。

我们的优化目标是上述误差越小越好,所以取其误差平方和构造设计变量 Ω的优化计算指标

本例中工作台运动4h,每20min读取一次热误差值,i=12。

3.2 设计变量

在对机床导轨热变形误差进行有限元分析的过程中,上述计算的有限元模型的边界条件(对流传热系数和热源)与实际有较大误差,很难从理论上精确确定,使得有限元计算结果与实验结果之间往往存在明显的误差。因此本文选择导轨和滑块表面对流系数(ξ1、ξ2),导轨和滑块发热表面的热流密度(Q1、Q2)作为设计变量 Ω。

在理论计算的基础上结合经验选取设计变量的因子水平范围,如表1所示。

表1 设计变量因子水平范围表

为使实验点分布得比较均匀,将4个设计变量在各自范围内均匀取5水平。为便于计算研究,将设计变量进行中心编码[-1,1]转换,形成新的设计变量

3.3 响应面模型的建立

4因子的二阶响应面采用完整二次型,其实验次数至少需进行(4+1)(4+2)/2=15组[14]。均匀设计方法是利用数论方法在设计空间中均匀分布实验点集,是一种有效的部分因子实验方法,特别适合多因素、多水平的试验设计[16]。所以本文采用4因素16水平的均匀试验表(采用拟水平法),另外在零点增加一组实验,对总共17组实验进行有限元分析。对于每组实验(有限元计算),计算导轨的X方向变形量,并与采用前述方法获得的测量值进行比较,计算出优化计算指标F(Ω)值。

采用第1节所述响应面方法公式建立优化计算指标F(Ω)和设计变量 Ω之间的近似模型。得到响应面函数表达式

根据式(2)计算得到复相关系数R2=0.9825,接近1,说明回归方程足够精确。

对目标函数的二阶响应面模型方程进行F检验,根据式(3)计算统计量F,得到F=120.5＞F0.05(14,2)=19.4,说明响应面模型是有意义的。

4 数控机床导轨有限元模型的优化及热误差计算

对于数控机床导轨有限元模型,为使数值模拟结果逼近实际测量结果,其优化目标应尽可能减少由于有限元模型边界条件难于精确确定所导致的有限元计算误差。

综上所述,导轨有限元分析模型优化的数学模型为

这样,有限元模型优化问题就转化为对上式的求解。

采用上述优化数学模型并选择优化算法,对导轨有限元模型边界条件进行优化设计。得到一组 最 优 设 计 变 量

根据优化后的边界条件,利用有限元分析软件计算导轨在整个行程范围内的热变形量。

优化后的导轨横向(X方向)热误差比较曲线如图4所示。仍选取C1、C2、C3三个测点,将有限元计算结果与实验结果进行对比,计算值与实验结果已非常接近。对照图3优化前的曲线,其最大误差(实验值与计算值之间的误差)已经由6.4μm 降低为0.83μm,误差平方和F(Ω)由优化前的 813μm2降低为 11.2μm2。

5 结束语

在研究导轨热变形误差有限元分析的过程中,由于有限元模型的边界条件很难从理论上精确确定,使得有限元计算结果与实验结果之间往往存在明显的误差。响应面方法的优势在于可以通过较少的实验(有限元计算)获得设计变量(有限元模型边界条件)和目标函数(热变形计算误差平方和)之间足够准确的相互关系,并且可以只用简单代数表达式展现出来。因此,为了缩小计算误差,本文借助响应面方法进行有限元模型修正。通过实验得到3个测点的热误差变化值,建立了优化计算指标(3个测点的计算误差平方和)和设计变量(热源和对流系数)之间的近似模型,对导轨有限元边界条件进行了优化选择,使得计算误差明显降低。获得了导轨整个行程范围内的接近实际测量值的热变形动态变化计算值,以便进行实时误差补偿。但本文中的优化选择是在一个运行条件下以3个测点为例进行的,对于大型机床导轨,为了提高计算精度可以设置3个以上测点进行优化,另外,如何将近似模型应用于复杂运行条件(如运行时开启关闭机床)需要进一步研究。

图4 热误差比较曲线(优化后)

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