分形理论数学模型在土壤学中的应用研究

梁青丽

自然现象多样性和复杂性的根源在于世界本质上是非线性的。非线性科学（NonlinearScience）已成为蓬勃发展的前沿科学。其中以研究非线性图形自相似规律为基本内容的分形理论（FractalTheory）作为非线性科学中的普适性理论之一，研究工作十分活跃。目前分形理论在深刻揭示自然规律方面，己显示出强大的生命力和广阔的发展前景。

1 分形理论的提出

对于自然界常见的、变幻莫测的，不稳定的、非常不规则的现象，欧氏几何学将其贬为“病态结构”。但是，这些“病态结构”似乎比经典的、光滑的几何图形能更好的反映自然现象的本质规律。在研究这些“病态结构”图形的几何意义，探讨这类奇形怪状共同的结构特征的过程中，一门全新的几何学也随之诞生。

1967年，Mandelbrot在美国《科学》杂志上发表的题为《英国的海岸线有多长》的著名论文中认为，海岸线长度的答案是随测量尺度的不同而异的，用一种与尺度无关的方式来表征海岸的结构，这样得到的结果比给出海岸线的长度更有意义。这是一种完全不同于以往观念来认识和对待不规则的几何形体。Mandelbrot在1975年发表的《分形：大自然的几何学》一书中系统地整理了他的分形思想，建立了分形理论研究的基本框架，开辟了这一数学研究的新领域。

分形理论一经提出，便受到自然科学诸多领域的广泛关注。现在，对分形的研究已远远超出了几何学的范围。分形理论已被应用到物理学，化学，生物学，地质学以及诸多动力学系统，甚至社会经济的理论和实际课题中，己成为揭示客观世界的许多复杂结构特征的有力工具。

2 土壤结构性状及土壤水分运动研究的意义

土壤是一个非均质的、多相的、分散和多孔的复杂系统。自然界的三相，即固相、液相和气相共存于土壤之中。其中固相构成土壤的骨架，其结构通常是用固体颗粒的大小、形状及其空间排列来描述的。由于构成土壤的颗粒和孔隙大小不同，形状各异，并且它们可能是以各种方式连接起来的。因此土壤结构性状十分复杂，但全面认识和了解土壤结构性状又极其重要，因为它决定着总孔隙度以及孔隙的形状和大小分布及连通情况，从而影响着土壤中水分和空气的保持与传导，包括入渗与通气，还影响土壤的机械性质，这对于种子萌发，根系生长，土壤耕作，陆上交通和土壤侵蚀以及其他一些问题的研究也不可缺少。

土壤水分运动参数主要包括水分特征曲线，饱和、非饱和导水率及土壤水分扩散率，有关这些参数的测定、拟合方法己有许多，但由于土壤结构性状的复杂性，由实测方法获得准确且具代表性的水分运动参数还相当困难。近20年发展的土壤水分运动参数的估算方法——土壤传递函数法，备受注目，土壤传递函数利用土壤理化性质或参数，主要是土壤质地，即土壤砂粒、粉粒和黏粒的百分含量，或详细的粒径分布累计曲线，土壤容重和有机质含量，以及反映土壤结构性质等相对容易测定的土壤物理参数，就可方便快捷了解土壤水的基本物理性能，研究阐明土壤水的物理行为、土壤与水分的相互作用，预报水分在土壤—植物—大气连通体中的状态和运动规律。因此，研究土壤质地状况，了解土壤结构性质等相对容易测定的土壤物理参数对土壤水分运动有着重要意义。

3 分形理论在土壤学研究中的意义及应用

3.1 分形理论在土壤学研究中的意义

土壤结构性状和土壤水分运动的关系密不可分。没有土壤结构定量化问题的解决，更多的土壤学研究的其他问题，特别是与土壤结构密切相关的土壤持水和水分运动的问题，也就难以定量解决。目前解决土壤持水和水分运动的问题仍只能大量地采用经验公式、经验参数来描述，并且这些公式仅在较小的范围适用。对土壤结构性状和土壤持水和水分运动规律的描述和研究一直是土壤科学最为活跃的研究领域之一。分形理论为研究土壤结构的复杂性和不规则性提供了一种全新的思维和方法，运用这一研究方法，建立土壤结构分形模型，使土壤结构指标定量化，对推动与土壤结构密切相关的土壤性质的研究以及发生在土壤内部的一些过程的认识具有重要意义。

3.2 分形理论在土壤学研究中的应用

近年来把分形理论运用到土壤科学研究中，特别是运用于土壤结构性质及与土壤结构相关的土壤持水及水分运动参数的研究十分活跃。

3.2.1 分形理论在土壤结构性状研究中的应用

研究表明：反映土壤结构状况的一些参量，比如土壤粒径分布、孔隙度、孔隙连通状况都表现出具有分形特征。Tyler等人在假定土粒的质量密度为一恒量，且在不考虑不同土粒形状差异的基础上，建立了土壤颗粒的累积重量与粒径的分形关系：

式中，W——粒径大于某一粒级di颗粒的累积重量，g；

W0——总重量，g；

di——土壤颗粒直径，mm；

dmax——最大粒级的平均直径，mm；

D——分形维数。

这一关系简化了土壤粒径分布分形维数的计算，并通过分析可得出分形维数的物理意义：0

Wuetal和MarcoBittelli等人运用小角度光散射分析方法在研究更大尺度范围粒径分布关系的工作中，粒径分布的分形关系被分成三个区域，其边界为0.51±0.15μm和85.3±0.25μm。提高测定粒径分布分析技术，充分提取粒径分布分形维数所提供的丰富信息，粒径分布分形维数就可以更准确的、定量化反映土壤质地状况和土壤结构的不同，也可更准确地运用到与土壤质地状况和土壤结构有关的其它问题的研究中。

土壤结构状况研究的另一方面是土壤孔隙空间性质。Anderson等已报道的分形理论在土壤孔隙空间的研究成果表明，用分形维数可以定量反映土块或土壤团聚体的结构。

3.2.2 分形理论在土壤水分研究中的应用

目前，用分形理论研究土壤水分的热点主要集中在解决土壤水分参数的确定上。Rieu和Sposito根据孔隙体积和大小的数量关系建立了完全分裂、松散的土壤孔隙分形模型，得到了孔隙完全连通情况下的累积孔隙体积与土壤颗粒尺寸的分形关系。考虑到有结构土壤是不完全分裂的，对粒径分布分形维数D修正为体分形维数Dr，可以更合理的反映土壤连通情况，修正后的孔隙结构模型用来求解土壤水分运动参数。另外确定水分运动参数也可直接基于分形数学模型来建立土壤水分运动模型。

近年来，运用分形理论研究多孔介质中水动力弥散系数的研究报道也表明，宏观弥散和微观弥散的机制是相同的，水动力弥散系数具有尺度效应，表现出分形特征。多孔介质的非均匀性造成的流速不均匀是产生水动力弥散的主要因素，尺度效应分维作为一个定量指标，对研究水动力弥散，解决地下水污染问题土壤中溶质运移的模拟提供了新的参数估计方法。

4 有待解决的问题

分形理论为土壤这种结构上和形态上都很复杂的几何形体提供了一种全新的思维和方法。运用分形理论对土壤结构的定量化描述已做了大量的研究工作，表现出诱人的应用前景。直接运用分形数学模型从不同角度研究土壤结构，目前已有了一定的基础，但还需不断的完善，探讨孔隙空间曲折性和连通状况，尽可能简化模型中的输入参数，改善模型对土壤水分保持和运动模型的预测，使模型更为好用、实用，是目前急需解决的问题。在己有的模型基础上，建立更有效的模型，才能进一步运用土壤分形理论探讨特征水分保持和运动及其空间变化的机理。

分形理论是一门发展中的学科，许多概念还在不断的深化和发展中，关注分形理论发展的新动向，及时与土壤物理研究紧密结合，推动土壤物理学研究取得更大的发展，无疑会提高人们对土壤中复杂问题的认识，解决人们生产生活实践中的有关问题。