表面裂纹疲劳扩展寿命可靠性分析

孙鹏飞，袁杰红

(国防科技大学指挥军官基础教育学院，湖南长沙 410072)

0 引言

随着结构的大型化和复杂化、使用环境的恶劣(低温、高压)、随机因素的增加，疲劳断裂已成为工程结构的主要失效形式，据统计［1］:因交变载荷引起的疲劳断裂事故占机械结构失效总数的95%。疲劳断裂的危险性表现在结构到达疲劳寿命时无明显先兆(显著变形)就会突然断裂解体。疲劳裂纹的扩展受到材料特性、构件几何特性、载荷历程及环境条件等因素控制，一般情况下这些因素均具有一定的随机性。因此，结构的疲劳寿命也表现出很大的不确定性。为考虑这些不确定性的影响，确保结构的安全，必须采用概率统计分析方法对构件的疲劳裂纹扩展进行可靠性分析。

目前，对于结构疲劳寿命的可靠性分析主要有统计模型法［2-3］和直接 Monte Carlo 法［4］。采用统计模型法考虑的随机变量个数有限，且需用经验公式计算应力强度因子，结果精度差，而直接Monte Carlo法虽然不受随机变量分布形式和个数的影响，但其精度受抽样次数的制约，且收敛速度较慢。拉丁超立方抽样(Latin hypercube sampling，LHS)能够有效改进抽样效率，用较少的抽样次数得到较理想的结果。因此，文中利用线弹簧模型法计算应力强度因子幅值，用LHS方法实现随机抽样，进行裂纹扩展寿命的可靠性分析。

1 疲劳裂纹扩展寿命计算公式

在疲劳裂纹扩展分析中，Paris公式是应用最普遍的裂纹扩展模型，其表达式为:

式中 da/dN——裂纹扩展速率

a——裂纹扩展长度

N——裂纹扩展寿命(循环次数)

C，n——材料常数

ΔK——应力强度因子幅值

将式(1)积分，可得裂纹扩展寿命的估算公式为:

式中 a0，ac——初始裂纹长度和临界裂纹长度

对于表面裂纹，利用线弹簧模型计算应力强度因子幅值，式(2)不易直接积分，于是可将裂纹扩展的过程离散成为s个裂纹扩展段，则式(2)可写成如下的分段形式:

式中 ai——第i段裂纹扩展长度

ΔKi，Ni——与 ai对应的应力强度因子幅值和裂纹扩展寿命

对 N，C和 n随机性的研究已有很多［5-6］，一般认为C和n分别服从对数正态分布和正态分布，且统计相关;裂纹扩展寿命N服从对数正态分布。

2 线弹簧模型

线弹簧模型法是进行表面裂纹断裂分析的一种解析方法，最初是由 Rice和 Levy［7］基于 Kirchoff板理论提出的，Delale等［8］代之以 Reissner板理论求解，使得线弹簧模型的解更加精确。之后，袁杰红等［9-11］将线弹簧模型的理论和适用范围进行了推广。用其求解表面裂纹问题具有精度、效率高，适用性强的特点。

如图1(a)所示，在无穷远处单位宽度上作用有外力N∞和外力矩M∞半椭圆形表面裂纹(a，c分别为裂纹深和半长)，可以等效地转化为装有线弹簧、长度为2c的穿透裂纹(见图1(b))，而线弹簧的本构关系可由相应位置的平面应变边裂纹板条所受的广义力和由于裂纹存在引起的附加广义位移的关系来确定(见图1(c))。表面裂纹前缘各点的应力强度因子等于相应位置的边裂纹板条的应力强度因子。

图1 表面裂纹线弹簧模型

由积分变换方法，可获得穿透裂纹平板无量纲形式的性能积分方程［9］为:

E——弹性模量

c——裂纹半长

h——板厚

μ1(t)，μ2(t)——未知位错密度函数

σM()，(σB()——未知应力

其中:

但是技术变革的速度还是令消费者和环保组织感到震惊，因为他们认为新的基因编辑技术尚未通过充分的审查就已经上市，他们已经请求监管组织进一步加强基因编辑食品安全性审查。

线弹簧本构关系由图1(c)所示的平面应变边裂纹板条所受广义力和由于裂纹存在引起的附加广义位移之间的关系来确定，其表达式［9］为:

式中 υ——泊松比

［γij］——矩 阵，［γij］ = ［αij］-1，αij=，其中 gi(ξ)为已知函数(i，j=M，B)

如图1(c)所示，边裂纹板条应力强度因子的表达式［10］为:

其中，ξ=l(x)/h，l(x)为板条边裂纹的尖端至椭圆长轴轴线之间的距离(见图1(c))，σM()，σB()，gM(ξ)和gB(ξ)均如前所指。

将式(5)代入平板性能方程(4)，可得到一Cauchy型奇异积分方程。利用Gauss-Chebyshev方法［12］求解。之后，通过式(4)和(6)就可求得坐标为k(k为Chebyshev多项式零点)点处的线弹簧内力和裂纹前缘对应点的应力强度因子。为能得到裂纹前缘任意点的应力强度因子，可对所得对应k的应力强度因子作多项式拟合。

3 拉丁超立法抽样

LHS方法由 Mckay等［13］于1979年提出的，是一种多维分层抽样方法。与直接Monte Carlo法相比，它具有样本记忆功能，避免了大量反复的抽样工作，并且能使变量分布的尾部参与抽样。因此，对均值和方差的估计效果显著改善。

假设对n维随机变量 x=(x1，x2，…，xn)T进行N次抽样，其基本过程为:首先将［0，1］区间划分为N个互不重叠的区间间隔，在每个子区间内对所有输入变量按各自概率分布进行独立的随机抽样。为了确保抽取的随机数属于各子区间，则第i个子区间内的随机数为:

式中 U——［0，1］区间内均匀分布的随机数

Ui——属于第i个子区间的随机数

由于存在下列关系式:

因而，每个子区间仅能产生一个随机数。然后利用反变换法，由N个子区间产生N个服从某一概率密度函数的随机变量值;再对x1的N个取值随机地与x2的N个取值组成x1x2的N个配对;然后，这 N个配对再与 x3的 N个取值配对为x1x2x3。依次类推，可得一组N个抽样的n维变量组值 x1x2…xn。

4 算例及结果分析

4.1 算例1

某天然气管道由X射线探伤结果发现纵向半椭圆形表面裂纹，原始数据取自文献［3］。初始裂纹尺寸a0、管道交变应力幅值Δσ和疲劳参数C的统计特性为lga0～N(0.3875，0.122)，lgΔσ ～N(1.8231，0.092)，lgC ～ N(-12.78，0.232)。在裂纹扩展过程中裂纹形状比a/c=0.1786保持不变，裂纹临界尺寸 ac=5.5 mm、管壁厚h=8 mm和疲劳参数n=3.72为定值。

应用拉丁超立方抽样103次，然后进行数据拟合，求得裂纹疲劳扩展寿命的分布规律为lg N～N(3.9459，0.44162)。与文献［3］的结果对比见表1，可以看出两者计算结果一致，表明了本文方法的正确性。

表1 算例1计算结果

4.2 算例2

以含表面裂纹、在远场作用有交变拉伸载荷的16MnR钢平板为例进行分析。疲劳参数采用文献［14］中的试验数据，ln C～N(-22.3849，1.13232)，n～N(4.0080，0.33812)，C和n的相关关系为 ln C=-8.8829-3.3688 n+N(0，0.11822);假定材料的泊松比υ=0.3为定值，在扩展过程中，裂纹的形状比a/c=0.4保持不变。其他参数的统计特性见表2。

应用拉丁超立法抽样法进行103次抽样，表2列出了在5种参数分布情形下裂纹扩展寿命的统计参数。

从表3可以看出，在相同的可靠度下，初始裂纹尺寸和交变应力幅值均值的变化对疲劳寿命的影响远大于临界裂纹尺寸和板厚均值的变化;从表4也可以看出，经历4×106次交变载荷作用后，若初始裂纹尺寸增加1 mm(情形1至情形2)，则可靠度下降53.6%;若交变应力幅值增加10 MPa(情形1至情形5)，则可靠度下降46%。而其他两种情形的变化对可靠度的影响要远小于情形2和5。因此，对承受一定交变载荷的构件，严格控制初始裂纹尺寸对提高疲劳寿命的可靠性是十分重要的。

表2 算例2参数统计特性及计算结果

表3 给定可靠度下的疲劳寿命

5 结论

(1)将线弹簧模型法与拉丁超立法抽样法相结合，建立了表面裂纹疲劳扩展寿命可靠性分析的新方法，通过算例验证了本文方法的正确性;

表4 给定疲劳寿命下的可靠度

(2)对于承受一定交变载荷的构件，初始裂纹尺寸均值的变化对于疲劳寿命可靠性的影响远大于其他变量;

(3)该方法具有计算程序简单、编程方便、计算量小等特点，结果精度高，适用于工程中疲劳寿命扩展的可靠性分析。

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