圆对称型大景深相位模板的理论设计

王晋疆，韩瑞雨，莫绪涛，孟云霞

(1. 天津大学精密仪器与光电子工程学院光电信息技术科学教育部重点实验室，天津 300072；

2. 安徽工业大学数理学院，马鞍山 243000)

大景深光学成像系统具有广泛的应用领域，比如红外成像[1]、机器视觉[2]以及生物和医学的立体显微成像[3-4]等．最简单的增大景深的方法是缩小孔径，但这会造成成像光强的降低和成像分辨率的下降．目前，相关的研究主要集中于通过放置在光学系统光瞳面处的纯相位模板以及通过对CCD采集的图像进行复原来得到大景深图像[5-12]．其中以波前编码系统比较出色，它的相位模板为立方相位模板．不过波前编码系统得到的图像必须要经过图像复原才能应用，并且系统的传递函数具有很强的频率选择性，在很大的频率范围内调制传递函数(modulation transfer function，MTF)值极低，也意味着抗噪声干扰能力较差．一种圆对称型大景深相位模板具有大景深的特性．加载有本模板的系统得到的图像无需图像复原就可以直接应用，并且系统在较大的频率范围内具有一致的圆对称光学传输特性．

笔者以圆对称相位模板为研究对象，利用非相干光学成像系统的点扩散函数关于离焦的不变性，推导相位模板的函数表达式，并给出相位模板的一组优化参数．接着，对圆对称相位模板相应的光学成像系统的特性进行分析，与波前编码系统进行比较．最后研究像差对系统的影响．

1 圆对称大景深相位模板的理论推导

设放置于普通圆形孔径成像系统的出瞳处的圆对称相位模板的函数表达式为

式中：r为出瞳平面的坐标；k为波数 2π/λ；kθ(r)为相位模板所带来的相位因子．根据傅里叶光学中有关点扩散函数与广义光瞳函数的关系，得到非相干光学成像系统的PSF为

从而得到圆对称大景深相位模板的函数表达式，不过还有 3个参数需要具体给出．通过把相位模板函数表达式代入点扩散函数的表达式(2)很容易发现，常数相位并不改变点扩散函数的分布．所以，接下来仅需要对参数a和b进行优化，参数c的选择根据模板各处的厚度需要大于0来确定．

2 圆对称相位模板对应系统的成像特性

将模板所对应系统的MTF的离焦不变性以及使得系统MTF在一定景深范围内的响应值大于设定值为目标进行优化．首先设定优化模型中的20w 的取值范围，然后通过对参数进行采样计算，获得一组参数及对应的系统响应值．在此基础上，通过设定的系统MTF在景深范围内的响应值，选取优化参数．通过上述运算得出一组参数为 a＝1.902,λ，b＝-2.197,λ．为了保证模板的实际加工要求，要求参数c＞0.64,λ．

图 1给出了普通圆形孔径光学系统和本文得到的圆对称相位模板对应系统的 MTF密度图，横轴代表离焦参数φ，纵轴为非相干光学系统的归一化空间频率，灰度值代表 MTF值的大小．其中，较大的灰度值(白色)代表大的 MTF响应值，小灰度值代表较低的 MTF响应．为了更适宜观察分析，图 1是对原始MTF密度图进行了增强，对接下来的分析没有影响．

从系统的 MTF密度图中可以看出系统的景深、分辨率范围，如图 1中的白色方框所围的区域．当要求归一化截至频率在小于 1的范围内 MTF大于 0时，普通圆形孔径光学系统景深对应的最大离焦范围为[-3.5，3.5]，而本文中相位模板得到的系统景深对应的最大离焦范围为[0，12]，从而景深增大为原来的1.7倍．(若要求归一化截至频率在小于 0.75的范围内 MTF大于 0时，景深范围变为[0，18]，为原来的2.5倍，如图1(b)中的白色虚方框．)注意到模板对应系统的景深并不是关于正常聚焦物面(0φ=)左右对称，但是这并不影响系统的使用，以景深为[0，12]的情况为例进行考虑，只要把离焦参数φ为 6对应的平面作为系统的“理想聚焦面”即可．

图1 普通光学系统与圆对称相位模板对应系统MTF密度图Fig.1 MTF density figure of ordinary system and system Fig.1 with radially symmetric phase plate

普通光学系统在景深范围内所有空间频率上的MTF响应值都能够大于0，大景深系统在景深范围内的 MTF值并不能保证所有的空间频率都能大于 0，但是应该明确的是并不是所有的光学成像系统都对最大空间频率也就是分辨率的要求很高，所以本文设计的相位模板所对应的光学系统仍具有一定的应用价值．此外，还可以通过对模板进行不同的优化得到合适的模板参数，以在景深和分辨率之间得到一个理想的组合．

3 模板对应系统与波前编码系统比较

在一定的离焦下，波前编码系统和本相位模板对应系统的三维MTF如图2所示．可以看到波前编码系统的 MTF仅在 2个频率轴具有良好的传输特性．由于非频率轴上点对应MTF值等于该点在2个频率轴上的投影点对应的 MTF值的乘积，同时由于每个投影点对应的 MTF值都较小，从而非频率轴上的频率点对应的 MTF值很小．这也就意味着系统的抗噪声能力较差．而 4次圆对称相位模板对应的系统虽然截至频率较低，但是在截至频率的圆形频率区域内，具有一致的传输特性．并且 MTF的响应值要大于波前编码系统的响应值．这就保证了系统在一定的频率范围内，具有良好的成像质量，并且抗噪声能力要优于立方相位模板．为了比较 2个系统的抗噪声干扰能力，图 3给出了在相同离焦条件、相同的高斯噪声影响下，波前编码系统和4次圆对称模板对应系统的成像结果．从图 3中可以看出，波前编码系统得到的图像受噪声影响较大，而圆对称相位模板对应系统得到的图像要明显优于波前编码系统得到的图像．

图2 不同光学系统的三维离焦MTF示意Fig.2 MTF sketch of different system

图3 不同系统相同离焦、相同噪声影响下得到的图像对比模拟结果Fig.3 Simulation results of different system with the same defocus and noise

图4 普通光学系统不同离焦Spoke成像Fig.4 Spoke image of ordinary system with defocus

图5 波前编码系统不同离焦Spoke成像Fig.5 Spoke image of wavefront coding system with defocus

图6 圆对称模板系统不同离焦Spoke成像Fig.6 Spoke image of radially symmetric phase plate system Fig.6 with defocus

波前编码系统除了抗噪声能力较差之外，并且未进行图像复原的图像不能直接应用，而4次圆对称相位模板对应系统得到的图像却可以直接应用．图 4、图5和图6分别给出了普通光学系统、波前编码系统和本文模板对应的大景深成像系统对Spoke成像(未进行图像复原)的仿真结果，图中把圆对称相位模板对应系统的离焦参数φ为 6对应的平面作为“理想聚焦面”，给出了与普通光学系统和波前编码系统在相同离焦量时的对比图．可以看出普通光学系统在离焦较大时，出现了频率信息丢失以及图像反转现象．虽然波前编码成像系统的图像在不同离焦时得到的图像一致，但是很易看到，此时的图像和原始图像有很大差异，不能直接应用．而在相同的离焦量时，得到的圆对称相位模板对应系统不仅具有离焦不变性，并且得到的图像具有良好的成像质量．认为该结果对于图像质量要求不是很高的情况下可以不再经过进一步的处理．

4 像差对系统的影响

在此考察初级像差对圆对称相位模板对应系统带来的影响[7]．初级像差的类型包括球差、彗差、像散、畸变和场曲．根据位移定理[8]，畸变和场曲产生的相位因子并不改变衍射焦点附近的三维强度分布的形态，只是将分布进行位移．仅考虑球差、彗差和像散3种初级像差对系统的影响．

相位模板是以某个实际光学成像系统进行设计的．所以，光学系统的像差要小于像差容限．按照光学原理有关像差容限[8]的结论，球差小于 0.94,λ，彗差小于 0.60,λ，像散小于 0.35,λ．从而在像差容许范围内，考虑像差的改变对系统成像特性的影响．图 7给出了系统在各种不同像差条件下的 MTF曲线．图中横坐标为归一化频率，纵坐标为 MTF值．无像差表示系统没有任何像差；一半球差表示在没有其他像差影响下，球差值为球差容限值一半的情况；最大球差在没有其他像差影响下，球差值为球差容限值时的情况．一半彗差、像散和最大彗差、像散的情况与一半球差、最大球差情况类似．所有像差都处于最大容限时，称为最大像差．

图7 像差对系统MTF特性的影响Fig.7 Influence of aberration on system MTF

从图 7中可以看出，在像差容限范围内，彗差和像散对系统 MTF的影响很小；球差的引入使得不同离焦情况下的 MTF的最大截止频率有所降低，但是可以看到在归一化频率[0，1]范围内，MTF曲线的变化对成像的影响不大．此外，球差带来的 4次像差因子完全可以通过改变相位模板的 4次项系数进行补偿．总之，在像差容限范围内，初级像差对于成像特性的影响很小．

5 结 论

(1) 加载了本模板的成像系统，景深可以达到普通圆形孔径光学系统的2倍．

(2) 系统得到的图像不必进行图像复原就可以用于后续的工作．

(3) 系统的MTF在较大的频率范围内具有圆对称的一致传输特性，抗噪声干扰能力要优于波前编码系统等方形孔径模板对应系统．

(4) 在像差容限范围内，像差对于成像特性的影响很小．

(5) 由于模板结构的圆对称性，加工较3次相位类型的模板较为容易．

［1］Kenneth K，Edward D，Thomas C W. Reducing complexity in computational imaging systems[J].Optics Express，2003，11(18)：2102-2108.

［2］Narayanswamy R，Johnson G E，Silveira P E X，et al.Extending the imaging volume for biometric iris recognition[J].Applied Optics，2005，44(5)：701-712.

［3］Ortyn W E，Perry D J，Venkatachalam V，et al. Extended depth of field imaging for high speed cell analysis[J].Cytometry A，2007，71A(4)：215-231.

［4］Tucker S C，Dowski E R，Cathey W T. Extended depth of field and aberration control for inexpensive digital microscope systems[J]. Optics Express，1999，4(11)：467-474.

［5］Dowski E R，Cathey W T．Extended depth of field through wave-front coding[J].Applied Optics，1995，34(11)：1859-1866.

［6］Ojeda-Castaneda J，Landgrave J E A，Escamilla H M.Annular phase-only mask for high focal depth[J].Optics Letters，2005，30(13)：1647-1649.

［7］Mezouari S，Muyo G，Harvey A R. Circularly symmetric phase filters for control of primary third-order aberrations：Coma and astigmatism[J].J Opt Soc Am A，2006，23(5)：1058-1062.

［8］Yang Q G，Liu L R，Sun J F. Analysis of optical systems with extended depth of field using the Wigner distribution function[J].Applied Optics，2006，45(34)：8586-8595.

［9］Yang Q G，Liu L R，Sun H F. Optimized phase pupil masks for extended depths of field[J]．Optics Communications，2007，272(1)：56-66.

［10］Zhang W Z，Ye，Z，Chen Y P，et al. Ray aberrations analysis for phase plates illuminated by off-axis collimated beams[J]．Optics Express，2007，15(6)：3031-3046.

［11］Zhao T Y，Ye Z，Zhang W Z，et al. Wide viewing angle skewed effect of the point spread function in a wavefront coding system[J]．Optics Letters，2007，32(10)：1220-1222.

［12］Zhou F，Li G W，Zhang H T，Wang D S. Rational phase mask to extend the depth of field in optical-digital hybrid imaging systems[J]．Optics Letters，2009，34(3)：380-382.