着眼数学素养 深入文本预设

刘自强

《数学课程标准》指出，通过义务教育阶段的数学学习，应使学生在知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度等方面获得和谐发展。也就是说，着眼于提高学生的数学素养是义务教育阶段的整体目标，是数学学科固有的内蕴特性。

如何将这一目标贯穿于数学教学的始终？我认为，就是要抓住知识的“魂”，重视给学生“知识以外的东西”。要通过巧妙的设计，有效地引导学生经历探索、体验活动，也要抓住关键之处追问质疑，启发学生思考、发现，不失时机地鼓励学生交流、表达，让学生的思维经受挑战，渗透数学思想方法于无形之中。为此，我们在研读教材、设计教学的过程时，应充分关注以下几个方面：

一、领会“过程方法”的编排用心，把握知识建构的教学脉络

不同版本的《课标》实验教材，编写者都为展现数学结论的形成过程、渗透数学思想方法费了一定的心思，以下仅以人教版实验教材为例来说明。

比如，在低年级学习“图形与几何”这一领域的内容时，教材就借助与生活实际有关的具体事物和情境，通过观察、操作等活动，将所学几何形体的形象、图形及其名称、性质之间建立起密切的联系，使之形成关于所学几何形体的清晰的表象。为此，编者为一年级上册《认识物体》设计的教学脉络为：

（1）分类中感受：把形状相同的物体放在一起，初步感受形状是物体的属性之一；

（2）比较中感知：通过观察、辨认、区别，直观地认识各类物体形状的特点；

（3）逐步数学化：抛开每类实物的其他属性，只考虑形状，抽象出图形的名称；

（4）深化体验，促进建立表象：在玩中进一步感性地了解各种立体图形的显著特征。

深入分析并领会了编者这方面的用心，设计与实施教学活动就有了明确的目的，即：让学生的视觉、听觉、触觉等多种感官协同参与，通过内容丰富的图形符号感知及实物操作，不断丰富归纳和类比的经验，在建构有关形体概念的同时，形成初步的空间观念。这样则可避免教学中“为活动而活动”“趣味冲淡数学味”的现象。

又如，数学概念的学习并非简单的数学概念的语言学习，“读”概念并不能强化学生对概念的理解。为了让学生真正形成和掌握数学概念，教材通常是一方面紧密联系生活实际和学生已有经验，另一方面则根据儿童知识建构的特点，精心设计了从感知到抽象的一系列数学活动，让学生亲历体验、思考、探索的过程。明确了这一点，深入分析五年级下册《分数的意义》，可以发现其教学脉络为：

（1）唤醒已有知识经验：复习三年级时学习的认识“几分之一”和“几分之几”；

（2）扩展对“整体1”的认识：由单个的“1”扩展为多个物体组成的“1”；

（3）强化“分的份数”和“表示的份数”：不管单位“1”如何变化，分得份数用分母表示，表示的份数用分子表示；

（4）用语言概括分数的意义。

备课时抓住了分数意义的本质内涵和学生已有的知识基础，就能有的放矢地开展“导学”活动，就能避免那种只顾表面热热闹闹，简单地让学生用纸“折出或涂出某分数”或简单反复地“齐读分数的意义”等无效活动。

二、把握“数学建模”的编排层次，处理好解决问题教学中的几个关系

1．处理好积累解决问题的经验与引导“建模”，形成思路方法的关系

解决问题的教学过程要重视引导学生经历“数学化”，既要引导学生从数学的角度发现和提出问题，也要根据课程标准和教材的安排，引导学生在分析和解决问题的过程中理解数量关系、建立数学模型并掌握一些基本的思路方法。

比如，一年级下册《两位数减一位数》中“求两数相差多少”部分，深入分析了例题图与习题图的差异，从中可以感受到编者引导数学化、引导建模的意图：两道例题图中红花朵数都是可数的，其目的是让学生在已有的知识经验（同样多，“去掉”用减）基础上，借助数数与学具操作的直观（把大数分成两部分），体验、感悟到这一类问题也可以用减法计算；而在“做一做”的题图中，松果、书本数量都无法直接数出，其用意就是要摆脱直观的“数”，将学生往“通过减法计算解决”的数学化思路上引导，使学生对此类问题的解答方法从感性上升到理性，感悟其中的数量关系。

又如，三年级上册“万以内减法”中，例题展示三地路程的线段示意图，有助于学生理解其中数量的“总分关系”；而“做一做”中给出三种果树数量的条形统计图，要求提问题并计算，则显然侧重于数量间的“相差关系”。在同一课计算教学中安排了不同类型的数量关系，显示出编者想让学生感悟、积累数量关系的用心。

教材对归纳“速度×时间=路程”关系式的编排，尤其体现了“从积累经验到引导建模”的过程：在三年级下册教材中出现“骑车每分钟行100米，30分钟行多少千米”“动物……1分钟跑多少米”等问题的基础上，四年级上册“三位数乘两位数”单元中口算、笔算例题全是已知速度、时间，求路程的问题。在这样一次次铺垫，大量接触、感知并理解的基础上，最后给出了速度概念的直观描述及写法，并适时用数学语言和符号，水到渠成地抽象概括出行程问题的数学模型“速度×时间=路程”。理解了教材“在学生丰富感知的基础上引导进行抽象、归纳”的这种思路，对于其他常用数量关系，也就会有意识地引导学生去经历抽象、归纳、建模的过程。

2．处理好鼓励策略多样化与恰当引导优化的关系

从数量关系教学的角度来看，“方法策略多样化”的核心是要引导学生体会到同一个问题可以从不同角度去观察、思考，分析其中的数量关系。所以，要注意把握好多样化的“度”，多考虑是否有利于学生理解数量关系、明确分析思路、提高分析能力，而不能误导学生盲目追求形式上的变化，为多样而多样。比如三年级下册的“连乘问题”，如果盲目追求列式的多样化，可能误导学生“只要连乘就行”，反而难以体会其中的数量关系以及分析思考的“序”。

3．处理好计算教学与解决问题教学的关系

把解决实际问题与计算教学融为一体，这是新课程教材编排的一个特点，但这也引起了相当部分教师的困惑：教学中该侧重计算还是解决问题？“两者兼顾”是不是会造成两方面都不扎实？

我的思考是：解决问题的情境为理解计算的意义、算理和探索计算的方法提供了直观基础，而探索计算方法的过程同时也是学生进一步理解、应用数量关系和探索解决问题策略的过程，两者应该是相辅相成，而不是对立矛盾的。所以，总体来说应是两者兼顾。

但是另一方面，课堂教学时间的有限决定了一节课上要突出关注某个重点，抓住核心，否则可能“什么都抓等于什么都没抓”。在同一单元里，不同的例题要有不同的侧重，一般前面的例题教学要侧重于计算方法的探索学习（显然也要寻求算理支持），后面的例题则相对侧重于解决问题的方法策略与活动体验（当然也包括计算方法的进一步学习和提升）。

以三年级下册“两位数乘两位数笔算”为例，例1：“每本书24元，12本要多少元”中，“小红这样算”就是要突出竖式计算的方法，因为竖式笔算是计算的通法，是今后进一步学习乘法计算的基础。但是，提出问题和列式，以及对不同算法的探索（小刚这样算），对竖式笔算步骤的讨论、交流过程，其实也是在帮助学生理解数量关系以及每一步计算的算理依据，加深学生对解决问题策略方法的体验。而例2中的问题与提示语（围棋盘纵横各19条线，一共多少个交叉点），则显然是把重点放在让学生主动探索解决问题的方法策略上。在列出算式19×19后，鼓励学生运用学过的知识计算出得数（有用估算的、有用20×19－19的，也有列竖式计算的），并组织交流，促使学生了解各种方法策略。当然，对竖式计算的评议则要突出进位过程，特别是应引导帮助学困生顺利完成“进位”技能的迁移。