弹性能释放率与应力强度因子之关系研究

任泽俭 朱海荣

0 引言

其中，σF为断裂应力;a为裂纹长度;E为材料的弹性模量;Γ为材料的表面能。

在 Griffith理论提出了 30年以后，E.Orowan对金属材料裂纹扩展过程进行了研究，指出裂纹扩展前在其尖端附近会产生塑性区，因而在裂纹扩展过程中不可避免的要产生塑性变形，并消耗一定量的形变功。所以在 1949年Orowan对 Griffith的研究成果进行了修正，提出了如下的修正公式:

其中，Up为裂纹在扩展过程中所消耗的形变功。

Griffith和Orowan的理论构成了断裂力学中的能量理论基础。根据能量理论，当裂纹发生扩展时，裂纹体内将有两种能量发生变化。其一是裂纹体的位能将降低而释放出一部分弹性能来;其二是由于裂纹扩展形成了新裂纹表面而增加了表面能，因而要吸收一部分能量。定义裂纹扩展单位面积弹性系统释放的能量为裂纹扩展能量释放率，用G表示。

构件的断裂起源于裂纹，而裂纹的静止、平衡或发展，都与裂纹尖端附近的应力场有直接关系。Irwin通过对裂纹尖端附近应力场的研究，提出了一个新参量——应力强度因子K，并建立了断裂判据，这一判据在工程上得到了广泛的应用。

1 基于能量平衡理论的 I型裂纹扩展能量释放率

现在我们从能量守恒和功能转换的关系来研究裂纹扩展过程，由此来定义能量释放率的物理意义。很显然，裂纹扩展过程要消耗能量。设有一块具有中心穿透裂纹的平板试样，裂纹的长度为 2a，在拉力P的作用下，裂纹发生了扩展，同时试样也有了伸长，设裂纹两端沿着原来的裂纹线方向各扩展了长度Δa，试样伸长了 Δδ，如图 1所示。

Design and Verification of Path Following Controller for USV …

设在扩展前，裂纹的面积为A，在外力 P的作用下，裂纹的面积扩展了 dA，在这个过程中拉力所做的功为dW，体系弹性应变能变化了 dU，塑性功变化了 dΛ，裂纹表面能的增加为 dT。不考虑热功间的转换，则根据能量守恒和转换定律，体系内能的增加等于外力功，即:

其中，dΛ与 dT分别为裂纹扩展dA时所需要的塑性功和表面能，dΛ+dT可视为裂纹扩展所需要消耗的能量，也即是阻止裂纹扩展的能量。因此，要使裂纹扩展，系统必须提供能量，裂纹扩展dA时弹性系统释放(耗散)的能量记为:

则由式(3)和式(4)可得:

定义裂纹扩展单位面积弹性系统释放的能量为裂纹扩展能量释放率，用G表示，则有:

设裂纹体的厚度为 B，裂纹长为 a，则 dA=Bda，式(6)可以写为:

2 裂纹前端应力分布及裂尖区的局部应力

通常所用的裂纹尖端的应力强度因子和裂纹尖端应力的推导方法是由应力计算来确定的。如图 2所示，在一个无限宽板中，存在一个尖锐的长为 2a的贯穿裂纹，裂纹前端的拉应力分布可由下式给出:

其中，σapp为远场拉应力。

由式(8)可知:

在裂纹区附近:x→a，σ→∞;

在远离裂尖区:x→∞，a/x→0，σ→σapp。

由式(8)得:

令 r=x-a，得 x=r+a，代入式(9)可得:

当 r≪a时，(r+a)→a，(r2+2ar)→2ar，则有:

式(12)表示在靠近裂尖区的局部应力。这里 K被定义为应力强度因子，对于一个长度为 2a的中心穿透裂纹，这个应力强度因子的值为 K=σapp(πa)1/2。

3 基于虚功原理推导 G与 K之间的关系

在Griffith式(1)的推导过程中，运用了热力学的方法来处理裂纹的扩展。即裂纹扩展时所释放的弹性能与产生两个新表面所需要做的功相平衡。当一个裂纹扩展量为 Δa时，计算能量变化转换Δξ的最佳方法是采用虚功原理。即裂纹尖端应力场做的功因裂纹虚扩展所产生的位移减少为零。

由式(12)可知，在一个长度为 a的裂纹尖端前沿的应力为σ=K(2πr)-1/2。当裂纹扩展到(a+Δa)时的位移为:

此时r仍是从未扩展裂纹的尖端来计量的，那么在裂纹虚扩展过程中单位厚度所做的功为:

将 r=Δasin2θ代入式(14)中的积分部分得:

由式(15)得:

令 Δa→0，取极限得:

4 结语

G的临界值即为断裂韧性，它等效于 K的临界值，而后者的数值通常被引用来作为材料的断裂判据。

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