带状广域高程拟合方法的探讨

李明军，杨国东

(1.铁道第三勘察设计院集团有限公司航遥测绘分院，天津 300251； 2.吉林大学地球探测科学与技术学院，吉林长春 130026)

带状广域高程拟合方法的探讨

李明军1∗，杨国东2

(1.铁道第三勘察设计院集团有限公司航遥测绘分院，天津 300251； 2.吉林大学地球探测科学与技术学院，吉林长春 130026)

结合高速铁路建设中C级GPS控制网和二等水准数据，对石郑客运专线沿线143 km带状区域，分别构建多面函数模型、二次多项式和EGM2008重力场模型进行高程拟合分析。在特定区域，确定带状广域高程拟合最佳模型，验证获取厘米级甚至更高精度的正常高，以满足铁路工程、公路工程以及其他带状工程施工要求的可行性。

高程拟合模型；正常高；大地高；高程异常

1 引 言

随着科学技术的不断发展，GPS定位技术已广泛用于各种工程平面控制测量，其平面控制精度已可达到10－9数量级上[1]。但由于参考椭球体与似大地水准面之间的关系难于准确确定，致使GPS大地高同水准高转换模型中高程异常无法用带有固定参数的数学模型精确求解。造成了GPS高程在实际工程应用中，利用率相对比较低，甚至出现不被利用的现象。为此，本文以石郑客运专线为例，采用数学模型构建C级GPS控制网与二等水准数据之间的关系，分几个方案研究带状区域高程拟合方法，以获取高精度高程异常，减少外业水准工作量，从而提高大地高的利用率，进而提出铁路工程、公路工程以及其他广域带状工程最佳高程拟合方式。

2 高程拟合原理

高程拟合是指根据测区内若干个既进行了GPS测量又联测了水准高程的控制点，利用大地高、水准高和高程异常之间关系:

(式中，H为大地高，H正常为地面点沿正常重力垂线到似大地水准面的距离－正常高，也就是这里说的水准高。)推算出各点上的高程异常值，利用这些离散点上的高程异常值和GPS点的平面坐标之间存在的关系，构建测区内高程拟合随坐标不断变化的数学模型，从而可以根据控制点坐标计算出未知点上的高程异常，实现椭球高向正常高的转换。高程异常值和GPS点的平面坐标之间存在的关系可由以下方程式表示:

ξ(x，y)为GPS测点的高程异常值，x，y为测点坐标，α为待定参数。f(x，y，α)为所选的函数模型。选择一定的函数模型，利用已知量和推求出待定参数，可得到该测区似大地水准面的一个逼近，从而可以内插出其余GPS点的正常高值[2]。

3 高程异常解算模型

3.1 多项式模型

似大地水准面的拟合也可采用一次或多次曲面拟合法，即对于公共点上的高程异常与平面坐标之间存在以下数学关系:

一般根据联测水准的GPS点的个数来选取多项式的模型，比如当联测水准的GPS点的个数n＝3，4，5时，可选用一次多项式，6以上可以选用二次或更高次多项式。但一般需要拟合的大地水准面区域较小，不会进行大量水准联测，再加之多项式拟合自身系统精度的限制，一般只应用一、二和三次多项式拟合。

3.2 EGM2008重力场模型

地球重力场模型是通过最新卫星跟踪数据、地面重力异常数据及卫星测高等重力场信息，建立的重力位的球谐函数级数展开系数，简称位系数(Cnm，Snm)。利用位系数，根据数学模型:

可解算地面任意一点P的高程异常。式中:ρ，φ，λ分别为地面点P的向径、地心纬度和精度，GM为引力常数与地球质量的乘积，γP为地面点P的正常重力值，a为参考椭球的长半轴，在实际计算中采取相对于GRS80的值，即a＝6 378 137。为完全规格化位系数，其中偶次带谐系数代表实际引力位与正常引力位之差，(sinφ)为完全规格化Legendre函数，N则为地球展开的最高阶数。

EGM2008是NGA(US National Geospatial Intelligence Agency)释放的全球超高阶地球重力场模型。该模型阶次完全至2 159(另外球谐系数的阶N扩至2 190，次为2 159)，模型分辨率相当于5′(约9 km)[3]。

3.3 多面函数模型[4]

多面函数的主要思想则是根据“任何数学表面和任何不规则的圆滑表面，总可以利用一系列的有规则的数学表面的总和，以任意精度逼近”原理，建立如下函数模型:

其中xi和yi为中心点，Q(x，y，xi，yi)为核函数，为了简单一般采用:

或者:

本文则采用式(7)，多面函数圆滑因子取δ＝0.001。

4 实际案例分析

本文针对带状线路工程的特征，实施GPS水准点高程拟合均匀性最佳优化设计，对石郑客运专线沿线143 km，严格执行《客运专线无碴轨道铁路工程测量暂行规定》(铁建设[2006]189号)，获取的100个GPS水准点成果，根据上述各种模型的特点，分方案进行了数据处理和分析，其具体案例如图1所示。

图1 拟合区域高程异常概算拟合曲面线状图

4.1 多面函数拟合案例分析

针对多面函数模型，对现有GPS水准点分别以平均4.5 km、6 km、7.5 km、11.5 km和15 km的主体间距进行数据提取，并依次进行高程拟合，其单点高程误差统计表及相邻点高差误差统计图如表1和图2所示。

多面函数拟合单点高程误差统计表 表1

图2 多面函数拟合相邻点高差误差统计图

根据四等水准往返高差闭合差限差公式，mh限＝20L，L为路线长度。

根据多面函数拟合成果可以看出，其单点求解高程精度很高，在现有数据最优一组成果中，其最大高程偏离值仅为2.3 cm，而其高差主体满足四等水准要求。不足的是:在4.5 km处，只有一个略微超限，超限2 mm；11.5 km和15 km处已知GPS水准点包含范围内，有6个超限，其主要原因是由于离它们的最近两个GPS水准已知点概算高程异常值出现突变所致；6 km～11.5 km，已知GPS水准点纵向包含范围外各有几个超限，并且随着纵向距离越远其超限值越大；在间距为15 km时，考虑了纵向范围包含性问题，在纵向最外延加入已知GPS已知点，上述因外延引起的超限问题得到了解决，并取得了比较理想的成果。

4.2 多项式拟合案例分析

本次多项式拟合实验中，分别选用了相邻的24个和63个GPS水准点作为基准数据，然后均按平均4.5 km的间距进行了二次多项式高程拟合。24点拟合相邻点高差误差主体满足四等水准要求，只有一个点超限，超出限差6 mm；63个点拟合相邻点高差共有5个点超限(其中一个点也是因为外延点而引起的超限)，其他4个中最大超限值为24 mm。

4.3 EGM2008高程拟合案例分析

同样，本次实验选择98个GPS水准点作为基准数据，分别以4.5 km、6 km、7.5 km和15 km的主体间距提取GPS水准数据作为已知数据，然后依次实施EGM2008平面高程拟合，全线单点高程误差和拟合相邻点高差误差统计如表2、图3所示。

从以下结果可以看出，EGM2008重力高程拟合成果整体比较均一，只要已知GPS水准点布点均匀，其高程误差以及相邻点高差误差基本不受已知点个数限制，其相邻点高差误差最大只为0.23 cm，精度均满足四等水准要求，只是其单点高程拟合精度只是局限于10.5 cm，有待进一步提升。

EGM2008平面高程拟合单点高程误差统计表 表2

图3 EGM2008平面高程拟合相邻点高差误差统计图

5 结 论

综合考虑带状广域线性工程特点，对石郑线现有GPS水准数据，基于三种拟合方法，分方案实施143 km带状区域的高程拟合，通过拟合成果及分析，可以得到如下结论:

(1)三种拟合模型均能获取高精度高程拟合成果，其拟合精度均能达到四等水准要求，甚至更高。对于广域带状区域而言，采用多面函数模型能获取高准确度点位高程拟合成果，且其已知GPS点高程拟合残差均为0，但要获取高精度拟合成果，它对已知点点位密度和均匀性要求比较高，尤其是在当高程异常变化比较大的情况下，更应想办法加密控制点的密度，且当未知点超出带状控制点纵向范围，其拟合高程成果不可靠；多项式拟合同样能获取高准确度的点位高程成果，但相对于多面函数模型，其对广域带状区域的高程拟合不能建立统一的数学模型来实施对全线其他GPS点正常高的求解，计算过程比较复杂；相对于上述两种高程拟合模型，EGM2008重力场模型对点位密度和均匀性要求相对较低，能获取更高准确度的相邻点高差。但其单点拟合高程准确度略显偏低，高程误差有待更进一步提升。因此为获取高质量广域带状区域高程拟合成果，更适合采用多面函数和EGM2008模型。而在使用多面函数模型时，综合考虑工程进度和点位高程精度，在高程异常变化比较大的区域要获取高精度拟合成果，高程已知点点位密度应以5 km/个～8 km/个为宜；

(2)在实际带状工程生产应用中，高程拟合已知点个数总是有限，多面函数高程拟合模型的准确度也有待更进一步的提高。通过本文案例分析，是否可以结合多面函数高程拟合成果与EGM2008模型获取的相邻点高差数据，在已知水准点的基础上进行高程平差后的成果，来获取高准确度的高程成果，可作为高程拟合模型研究的下一课题。

[1] 张冰，马开锋，陈南祥.GPS高程拟合模型研究[J].华北水利水电学院学报；2008(2):65～67

[2] 徐绍铨，张华海，杨志强等.GPS原理及应用[M].武汉:武汉大学出版社，2003

[3] 金时华.多面函数拟合法转换高程拟合模型[J].测绘与空间地理信息，2005年，(6):44～47

[4] 刘成，张幸福.EGM2008重力场模型在GPS高程拟合中的应用分析[J].铁道勘察；2009(1):1～3

[5] 匡翠林.高精度GPS水准算法研究及其应用[D].长沙:中南大学，2004

[6] 王凯红，张俊影，赵娟等.GPS高程拟合方法精度分析[J].吉林地质，2007(3):84～87

Discussion on Elevation Fitting Method of Band Wide－area

Li MingJun1，Yang GuoDong2
(1.Department of Remote Sensing and Surveying of theThird Surveying and Design Institute Co.，Ltd.Tianjin 300251，China； 2.College of Geoexploration Science and Technology of JiLin university，ChangChun 130026，China)

In this paper，based on C－class GPS control network and second level data in the high－speed railway construction，researched on 143km band wide－area along passenger dedicated high－speed railway of which from ShiJiazhuang to WuHan，By using of multi－faceted function model and quadratic polynomial model and EGM2008 gravity field model，carried out and analysis elevation fitting。In a specific region determine the best band wide－area fitting elevation model，and verification the feasibility to obtain the normal high posses centimeter－level or even higher accuracy，to meet the railway，road and other ribbon construction requirements。results of study has guiding significance on heoretical research and practical work.

elevation fitting model；normal height；geodetic height；abnormal elevation

1672－8262(2011)02－96－04

P228

B

2010—07—22

李明军(1984—)，男，助理工程师，主要从事GPS与3S应用研究。