《数值方法》课程理论与实践教学改革探究

余承依，陈跃辉 （漳州师范学院数学与信息科学系，福建 漳州363000）

随着计算机和数值计算技术的发展以及它们在生产生活中的广泛应用，科学工程计算已成为科学实践的重要手段之一。《数值方法》作为介绍现代科学与工程计算中常用的计算方法的一门课程，受到越来越多院校的重视，相继成为了各高等院校理工科本科生和研究生的专业课程。从 《数值方法》研究对象可以看出，《数值方法》不像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论体系与计算机应用紧密结合在一起的实用性、服务性很强的课程。随着现代课程体系的改革和深入，应用性人才的培养越来越引起人们的重视，传统的教学方法和手段已经不能适应数值方法课程的培养目标，需要结合现代的教育技术观念进行改革［1-2］。下面，笔者结合建设 《数值方法》精品课程过程中的经验和体会对 《数值方法》理论与实践教学提出了几点改革建议❶❶漳州师范学院精品课程建设项目。。

1 注重课程中的思想和方法

《数值方法》很多内容在 《数学分析》、《高等代数》、《微分方程》等课程中都学过，但 《数值方法》更注重应用性，其思想方法较传统的数学课程相比发生了较大转变。

1）离散化思想与方法 《数值方法》中各种连续性变量的求解问题都要转化为离散问题求解，不同的离散化方法得到不同的数值求解方法，因此教师授课时要引导学生从微积分中连续的思维模式转变到离散的思维模式下，讲清楚离散化的基本思想，如数值积分、微分方程数值解等涉及到众多的离散化问题。

2）近似计算思想与方法 传统的数学中强调逻辑的严密性和数学计算的准确性，但科学工程计算中所接触的数据可能是带有舍入误差的近似数据，涉及到的很多数学问题无法求出准确解，只能被具有一定精度的近似解替代，且经典完美的求解析解的方法在数值求解中也不一定适用，故近似计算在数值计算过程中成为了一种有效的方法和手段。

3）逐次逼近的思想与方法 逐次逼近的思想与方法是 《数值方法》课程中的重要内容之一，很多数值方法都依赖于逐次逼近的思想与方法。

4）函数逼近的思想与方法 插值法、数值积分与微分中涉及到众多的函数逼近思想，微积分中所讨论的定积分的计算，主要是针对被积函数的原函数可以用初等函数表示且易计算。但这类积分只有很少部分，在实际问题中得到的很多积分的被积函数的原函数无法用初等函数来表示，即使能表示也很复杂，不易计算，这时对被积函数的各种不同的函数逼近方法就可以得到很多不同精度的数值积分公式。

《数值方法》课程的教学过程中要始终贯穿这些思想和方法，对涉及到的这些思想和方法的深刻理解有助于对课程知识的理解和把握。

2 优化教学内容，融入知识背景和数学建模思想

1）优化教学内容 《数值方法》作为介绍科学计算中的基础理论与基本方法的课程，已成为众多专业学生的必修或选修课程。针对不同专业和不同层次的学生，首先结合学生的实际情况和课程的要求制定合理的教学大纲和考试大纲；其次应对现有教材内容进行加工，做到所讲授的内容既保证知识的完整性、理论的系统性，又体现不同专业方向对数值方法课程的不同要求［3］。

对于数值方法，学生普遍感到难学，面对众多的数学公式，不在乎能记住多少，关键是构造各种算法的思想和如何运用算法来解决实际问题。对计算机专业侧重如何运用算法解决实际问题，可以采用已有的专门的数学软件包教学，如Matlab等，计算数学专业注重算法的构造和细节推理过程，宜采用C语言教学。

2）融入背景知识 《数值方法》课程具有很强的科学工程计算背景，传统的数值方法课程教学中忽视了知识背景的教学。讲授纯科学只能教给学生知识，而融入背景知识却能教给学生更多智慧。介绍一些经典算法的历史背景和一些常用的数值计算方法工程背景，往往可以引发学生对于学习意义的深入思考，原本较为枯燥的课程内容也会因此变得生动有趣，激发同学们的学习积极性。例如在讲授插值，拟合等问题时可以结合社会生活中的经济数据的预测等教学。

3）融入数学建模的思想和方法 为了凸现实用性，在课程改革和建设过程中注重与其他学科的融合，主动融入数学建模的思想和方法。很多数学模型最终都要借助于数值方法课程中的各种理论、算法来求解，如果精选一些既涉及到数值方法理论和算法又能体现数学建模思想的内容，将两者有机结合起来，从实际要解决的问题出发，建立数学模型，然后结合 《数值方法》课程中相关理论、算法研究解决数学问题。《数值方法》课程中融入数学建模思想和方法，为数值方法找到了实际的应用背景，体现了数值方法的实用性。

3 注重上机实验教学

1）重视算法构造和上机实现 《数值方法》课程中多种算法及其理论分析结果，只有通过上机实验才能得到验证，也只有通过上机运算后才能更好地更深刻地理解和掌握。在算法的构造过程和理论分析介绍完之后，当需要用实例验证说明算法时，要通过实验引导学生结合实例将算法逐步转化为对应的高级语言源程序，并调试、运行。

2）精心设计实验题目 上机题目的选择安排至关重要，一方面要体现该课程的重点与难点，另一方面又要具有一定的探索性。紧密结合 《数值方法》课程，寻找理论知识所能解决的实际生活和生产中的实际问题，通过问题的解决帮助学生理解和巩固所学的理论知识。既有基础性的实验，也有专题性的实验，又有综合性的实验；既有统一布置的题目，又有鼓励学生根据自己的专业、能力选择其他的开放性题目。要求对同一题目尽可能的采用不同的算法设计，从病态性、敏感性及计算复杂程度等方面来分析每种算法的优缺点，加深对算法的理解。

例如在讲授非线性方程的数值解这一章中的不动点迭代法时，同学们都知道在求解非线性方程时高于5次的方程没有求根公式可以利用。迭代法是一类重要的求解非线性方程数值解的方法，迭代法中最关键的问题是将方程f（x）=0转化为等价方程x=φ（x），φ（x）称为迭代函数。φ（x）选取的好坏直接关系到得到的迭代序列｛xn｝是否收敛到方程的真解x＊以及收敛速度的快慢，为了使学生充分理解这一点，在讲完这一节后可安排如下的上机习题。

例1 已知方程x3＋4x2-10=0在 ［1，2］有唯一根，若选取迭代函数φ（x）为：

选取初值x0=1．5，对于φ（x）的以上5种选择观察不同的迭代效果。通过比较该实验中的5种结果，学生很容易掌握迭代法的关键是迭代函数的选取，对于不同的迭代函数迭代的效果不一样，有的发散，如 （1）和 （2）；有的收敛，如 （3）、（4）、（5），并且收敛的速度也不一样，迭代函数 （5）收敛效果最好。这种方法刚好就是下一节所要讲解的经典牛顿迭代法，这样安排的实验既有利于学生掌握本节知识，又能起到较好的衔接作用。

3）实行团队合作的分组实验教学 注重实验的组织和管理，以项目为主导，实行分组教学，加强团队合作。将学生分成实验小组，教师给出一定范围内的具有启发性的实验问题，各实验小组根据教师指定的范围结合学过的知识，在浓厚兴趣的支配下自行设计方案，分析理论并上机实验，最终解决问题。笔者曾在数学与信息科学系2009级学生中试用这种项目主导，团队合作分组实验教学法，将2个同年级的不同班级进行对比实验教学。一个班级采用项目主导，团队合作实验教学的方式，学生的反应异常积极，由学生自行组合 （4～5人）成一个实验小组，小组成员根据教师的实验内容一起讨论、研究问题的解决方案，分工合作，将一个复杂的问题分成几个小问题，每个人负责一个方面的工作，大家完成以后组装在一起形成最终的成果。每周的实验课上由每小组派一名代表现场演示说明各自小组研究的成果，向同学介绍自己小组采用的方法以及独特的地方。另一个班级采用传统的单枪匹马上机方法，学生个人独立编制程序、调试。通过对比，2个班级的效果完全不同，前一班级每次都能按时完成任务，并能保证上机调试成功。而后一班级80%同学在课后都没有抽出时间编写程序，而是等到上机时才临时编写程序，匆忙之下写出的程序调试很难成功，不易在规定的时间内完成任务，并且对在调试过程中出现的问题也没有进一步深入探讨。对比实验教学结果说明以项目主导，团队合作的分组实验教学方式能充分调动同学们的积极性，激发研究兴趣。学生利用课余时间查找有关的资料，学习课本中所没有的其他专业知识，编制程序并反复实验，确保实验课上演示成功，培养了学生自我收集资料和主动学习的能力与习惯。另外，对于不同的课题内容，小组中必须派不同的代表演示说明，这样小组成员之间就发展起了良好的合作关系，充分调动了小组中每位成员的积极性，每位成员都尽力为主讲同学服务，同时下一次也同样能感受到同小组其他成员的支持，这为学生以后走上工作岗位发扬团结协作精神奠定了良好的基础。

4）制定合理的考核方法 实验结束后学生及时对实验总结，填写实验报告。教师从多方面多角度全面评价学生的实验技能与创新能力。数值实验的教学十分重要，实验的选题、组织与管理、程序的设计编写、结果的分析和学生的考核评价等每一个环节都要从严把关。只要精心设计出新颖的数值实验，注重解决问题的思想与方法，勇于创新，就能取得较好的效果，成为为其他课程服务的有力工具。

4 尝试开放式教学模式

传统意义上教师讲解、学生听课的方式不利于激发学生的学习兴趣。对于一些新知识，教师可以不直接讲解，以问题驱动［4］为主导，老师通过提出相关的问题，引导学生积极思考，学生提出自己的见解，教师组织课堂讨论，学生就不同的观点发表意见，最终归纳总结学得知识，并得到问题的最优答案。对于这种方式获得的知识学生理解最为深刻，但对教师的要求比较高，教师除了具有本课程的相关知识外，还应具有收集分析整理相关资料能力，能结合教学的内容有针对性地设计出合理的教学问题。教师在以问题驱动为主体的这种开放式教学模式中，教师是活动的组织者，有序的引导学生进行相关内容的讨论是关键，在一种轻松融洽的学习氛围中，推动学生不断的质疑和思考，调动学生的主动探寻真理和学习的热情。

《数值方法》课程公式复杂，传统的教学模式效率低下，教学过程中宜采用多媒体课件为主，黑板板书为辅的教学手段［5］。通过多媒体演示增加课堂的信息量和感染力，展现出传统黑板教学不能展现出的直观、动态的效果。

［1］钟尔杰，黄廷祝 ．关于数值分析课程教学改革研究的综述和思考 ［J］．大学教学，2007，23（2）：8-12．

［2］宋松和，朱建民，唐玲艳，等 ．高等数值分析课程教学改革探讨 ［J］．高等教育研究学报，2008，31（4）：66-67．

［3］孟国艳，赵青杉 ．计算方法课程教学改革探讨 ．忻州师范学院学报 ［J］．2008，24（2）：111-113．

［4］陈焕祯，姜子文，刘尊东 ．计算方法课程改革与建设的探讨 ［J］．山东师范大学学报 （自然科学版），2002，17（4）：88-90．

［5］李小林 ．关于数值计算方法课程教学改革的探讨 ［J］．重庆文理学院学报，2010，29（2）：85-87．