土木工程类研究生课程《弹性力学》的教学改革尝试

杨东全，彭 红

(海南大学土木建筑工程学院，海南海口 570228)

土木工程类研究生课程《弹性力学》的教学改革尝试

杨东全，彭 红

(海南大学土木建筑工程学院，海南海口 570228)

弹性力学是土木工程专业的专业基础课之一，为了适应现代土木工程专业研究生的专业教育，有必要对传统的弹性力学的教学内容、教学方法和教材使用等方面进行改革.本文主要从弹性力学课程的教学内容改革方面进行探讨，旨在提高研究生弹性力学课程的教学效果.

弹性力学;教材建设;教学改革

弹性力学是研究弹性体变形规律的一门学科，是土木、机械、航天、水利等工科类专业的专业基础课，是开展有关研究的重要理论基础［1］.目前，弹性力学的教学仍以传统的教学内容为主，采用的教材仍是以传统的经典教材内容为框架.这些教材反映了上世纪初期以前弹性理论的主要内容，主要以线弹性问题的建立和求解为主［2－5］.由于当时的计算手段不够，弹性力学的研究主要以小变形情况下线弹性理论的建立和相关解析解的求解为主，相应的教学内容也侧重于理论推导.上世纪五六十年代以前，弹性理论的发展转向非线性问题的理论和求解方法［1］.近些年来，弹性理论得到了更大的发展.尤其是随着计算技术的发展，各类计算机程序尤其是有限元商业程序的开发和广泛使用，如Ansys，Abaqus，LS-DYNA，NASTRAN等，过去无法求解的很多弹性力学问题现在都已经可以比较快速地得到解答.但弹性力学教材和教学内容并没有相应地改变，仍以传统的线弹性理论和解析解的求解为主.这样就会出现一些问题.例如，尽管很多学生和工程师可以应用有限元软件得到一些解答，但由于弹性力学问题本身的复杂性，需要对弹性理论本身有足够深刻的理解，才能利用有限元软件得到正确的解答.如果对弹性理论的理解不够深刻和全面，滥用有限元软件就会得到不合实际的解答，这种现象广泛存在于教学和实际的科研工作中.为了改善这种情况，有必要对传统的适于以手算等初等手段为计算方法的经典弹性力学进行一些教学改革.例如，强化学生对弹性力学基本理论的理解，但减少在解析解方面所花的篇幅和时间.另一方面，土木工程类的研究生在本科阶段一般都学习过弹性力学的基本内容，从科学研究和实际工程应用的角度出发，研究生的弹性力学教学应该从更高的层次和更广的内容上进行教学.目前这方面的探讨不多.总之，如何设置当今研究生的弹性力学的课程教学，讲解哪些内容，深度到什么程度，这是一个值得探讨的问题.

1 土木工程专业本科阶段的弹性力学教学概述

弹性力学是土木工程类本科专业的专业基础课，目前在我国高校本科阶段的弹性力学主流教材是徐芝纶等编著的《弹性力学》［6］、《弹性力学简明教程》［7］等.其主要内容包括弹性力学的基本概念和基本假设、平面问题的基本理论、直角坐标解法和极坐标解法、空间问题的基本理论和解答、薄板弯曲问题以及差分法、变分法和有限元法简介等.这些内容对土木工程类的本科生是适应的，为本科生后续专业课的学习建立了必要的力学基础.

2 当前土木工程类专业研究生弹性力学常用教材中存在的问题

弹性力学作为土木类研究生的重要理论基础课程，不能是本科同一课程的简单重复，所教授的内容应该是本科阶段的提高和加强.目前，国内高校所采用的弹性力学教材不太适合土木工程专业研究生的教学，主要体现在以下几方面:(1)以徐芝纶编著的《弹性力学》［6］为代表的弹性力学教材，一般都不采用张量表述，这不利于土木类研究生以后的研究工作，也不符合现代的弹性力学教学潮流.当前土木工程的专业文献几乎都是以张量符号进行理论描述，所以应增加张量基本理论的教学内容，使研究生尽快适应这种描述方式.(2)以杜庆华等编著的《弹性理论》［4］等为代表的弹性力学教材偏重于力学理论，它适合力学系的研究生，但对土木类的研究生则有一定的困难.(3)目前的弹性力学教材花了比较大的篇幅来阐述解析解的推导，如开尔文解、布斯涅克解等三维解析解、平面问题的各解析解、厚壁圆筒和旋转圆盘的解析求解过程等.实际上，这些经典的解析解数量并不多，而且都可以从相关的力学手册中查到.除了少数特定的需要，一般学生没有太大的必要重复这些解的求解过程，从而摆脱繁杂的推导过程，这样就可以把教学重点放在如何能快速有效地查找到这些经典的解析解，并使学生了解这些解析解的具体应用.换言之，土木类研究生只需要了解各类解析解的来源，重点则应放在具体应用上.(4)有限变形等非线性分析在土木工程中的应用越来越广泛，如极限载荷分析、结构的大变形分析、连续倒塌问题等.但目前的弹性力学教材很少介绍这方面的内容，如变形的欧拉描述和拉格朗日描述、格林应变和阿尔曼西应变、柯西应力和Piola-Kichhoff应力、有限变形下的平衡方程和本构关系［8－9］等.而这些内容是有限变形有限元分析的必备理论基础，应该予以介绍.(5)弹性理论作为一门理论基础课，其主要目的之一是为有限元等数值解法提供理论基础，所以变分理论是非常重要的一部分内容，而且应该强调各类变分原理和各种有限元解法之间的关系.变分理论基于泛函的极值分析，一般的教科书对泛函和变分概念的介绍不够，往往造成很多学生学完了弹性力学后，却对变分和泛函的概念都不清楚，这种情况不利于以后研究工作的开展.

3 适于工科类研究生的弹性力学教学内容探讨

基于以上考虑，研究生的弹性力学课程需要增加弹性理论基础知识方面的内容，尤其是应增加一部分连续介质力学的基础知识和张量分析的初步知识，这不仅可为有限元软件的使用打下比较坚实的基础，而且还能为以后的科研工作打下比较扎实的理论基础.另一方面，对一些略显过时的知识点，如复变函数解法、级数解法等可以少讲，甚至不讲.对于一些弹性力学解析解的具体推导过程和准备知识，可以少讲一些，重点则放在这些解的具体应用上.基于以上考虑，结合多年的教学实践，笔者认为研究生弹性力学的教学应主要包括以下内容:(1)张量的基本概念和笛卡尔张量分析初步介绍;(2)有限变形分析初步和小变形简化分析;(3)柯西应力分析及小变形情况的平衡方程描述，有限变形情况下的各种应力定义及平衡方程描述;(4)本构理论简介，线弹性本构方程的张量表示，有限变形下的本构方程简介;(5)线弹性力学基本方程的张量描述及线弹性体的基本原理;(6)空间问题、接触问题、平面问题及厚壁圆筒等弹性问题的解析解介绍;(7)弹性理论的变分原理及其与有限元分析的联系等.所用教材应采用坐标分量形式表述与张量表述相结合的方式，这一方面有利于学生的接受，更重要的是可为他们以后的研究工作打下基础.在教学过程中，应注重基本概念和基本控制方程的介绍;注重利用互联网、力学手册等有效地查找到经典的解析解，了解其历史和来源，但简化甚至不讲解其复杂的数学推导，并通过实例讲解一些解析解的具体应用;强调弹性力学是有限元等数值分析的理论基础，并举例说明应用有限元软件进行求解时应注意的力学问题，培养研究生解决实际问题的能力.

笔者在具体的教学过程中，结合国外一些著名大学的教学实践，采用自编教程进行教学，取得了一定的教学效果.下面是教学过程中所采用的具体教学内容:

1)张量的基本概念和笛卡尔张量分析初步介绍:从国内外有关张量分析和弹性力学的专著和教科书［1，4，8］中精选有关内容，使研究生能在有限的学时(6～9个学时)内掌握张量分析的基本概念和笛卡尔张量的演算技能，能基本看懂弹性力学有关公式的张量符号表述，从而为以后的学习和研究工作打下基本的力学基础.

2)Chaucy应力分析:采用笛卡尔张量符号描述柯西应力、应力边界条件和平衡微分方程.应力分析部分中，主应力和主方向可以从直接求解应力矩阵的特征值和特征向量得到，因为利用计算机软件，如MATLAB等很容易就可以得到这些解.

3)有限变形简介、小变形应变分析及有限变形的应力描述:从有限变形的欧拉描述和拉格朗日描述概念开始，建立构形和变形的概念;由变形梯度张量及极分解建立格林－拉格朗日应变和阿尔曼西应变;在小变形情况下建立工程应变的概念;建立在有限变形下相对于初始构形的Piola-Kichhoff应力及其与Chaucy应力的关系，并建立有限变形下的平衡微分方程［8－9］.这一部分是连续介质力学的基本内容，一般相关著作中的描述都比较晦涩难懂，而且往往又分散于不同的章节，但它又是有限变形分析所必不可少的.在教学过程中，不失一般性的前提下，应尽量做到深入浅出，让学生既能理解有限变形理论，又不陷于冗长的数学推导，着重有限变形概念的建立.

4)本构理论简介及线弹性本构方程的张量表示:现代本构方程理论简介;从热力学基本定理出发，建立线弹性体的本构方程，并讨论各向同性弹性体弹性系数的简化;各向同性弹性体胡克定律的张量表述;简单介绍了大变形小应变情况下的弹性本构关系，这对于理解弹性体的大变形求解方法非常有帮助.

5)线弹性力学基本方程及基本原理:综合考虑线弹性体的应力、应变、本构关系及边界条件和初始条件，建立弹性力学基本方程位移解法和应力解法的张量形式;讨论叠加原理和解的惟一性原理及圣维南原理;讨论平面应力问题和平面应变问题的定义及相应的弹性力学基本方程.这一部分内容对研究生以后的研究工作非常重要，应重点讲述，尤其是弹性力学基本方程的张量描述方式.

6)弹性问题求解的逆解法、半逆解法及解析解的运用:典型三维弹性力学问题及接触问题的解析解介绍及其应用;柱形杆扭转的基本理论及解析解介绍;平面问题解析解的求法及查找方法.在教学过程中，不局限于具体推导过程，而注重其推导思路及具体应用、查找和验证.适当介绍常用的力学手册等资源，同时介绍这些解的具体应用.如布斯涅克解被直接用于土力学中地基沉降量的计算，混凝土劈裂实验中的拉应力强度计算公式来源于平面问题中楔体的解析解等.这样能使学生增加学习的动力和兴趣，提高教学效果.

7)弹性理论的变分原理:介绍变形体的虚功原理;介绍泛函及变分的基本概念和泛函极值问题的数学提法;介绍弹性理论常用的几类变分原理及广义变分原理.

8)弹塑性理论的数值解及通用有限元分析软件介绍和初步应用:介绍李兹法及有限元分析的基本概念;介绍通用有限元分析程序Ansys或Abaqus;举例说明弹性力学问题的有限元求解方法及分析技术.

4 结论

本文讨论了土木等工科类研究生用弹性力学教材和教学过程中的一些问题，探讨了适合现代土木类研究生用的弹性力学教材应包括的教学内容.在教学实践中，笔者把这些想法应用于实际的教学过程，并取得了一些教学效果，希望这些尝试能为我国弹性力学的教学改革工作有所帮助.

［1］杜庆华.工程力学手册［M］.北京:高等教育出版社，1994.

［2］谢贻权，林钟祥，丁皓江.弹性力学［M］.杭州:浙江大学出版社，1988.

［3］钱伟长，叶开源.弹性力学［M］.北京:科学出版社，1956.

［4］杜庆华.弹性理论［M］.北京:教育科学出版社，1986.

［5］TIMOSHENKO S，GOODIER J N.Theory of Elasticity［M］.3rd ed.New York:McGraw-Hill，1970.

［6］徐芝纶.弹性力学(上，下册)［M］.第3版.北京:高等教育出版社，1990.

［7］徐芝纶.弹性力学简明教程［M］.第3版.北京:高等教育出版社，2001.

［8］GREEN A E，ZERNA W.Theoretical Elasticity［M］.2nd ed.Oxford University Press，1968.

［9］MALVERN L E.Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium［M］.New Jersey:Prentice Hall，1969.

Educational Reform Attempts of Theory of Elasticity for civil engineering graduates

YANG Dong-quan，PENG Hong

(School of Civil Engineering，Hainan University ，Haikou 570228，China)

Theory of Elasticityis one of the major foundational courses of civil engineering graduate education.In order to be more suitable for current civil engineering graduate education，it is necessary to make reform for traditional teaching content，teaching material and teaching methodology of this course.In the report，the teaching content reform of the course was discussed.

theory of elasticity;improvement of teaching material;educational reform

G 420 < class="emphasis_bold">文献标志码:A

A

1004－1729(2011)01－0095－04

2010－11－04

海南省自然科学基金资助(808100)

杨东全(1967－)，男，山东阳谷人，海南大学土木建筑工程学院教授，博士.