半连续函数的预不变凸性

王海英,武慧虹

(安顺学院数学与计算机科学系,贵州安顺 561000)

0 前言

凸性理论(包括凸集理论和凸函数理论)在数理经济学、对策论、工程、管理科学和最优化理论中起着非常重要的作用,这主要是因为凸函数在凸集上的局部极值也一定是其全局极值。事实上,具有凸性的函数相对来说是很少的。因此,人们一直在研究凸函数的各种推广形式即广义凸函数,使其既能保持凸函数的一些良好性质又具有比凸性更弱的条件。20世纪 80年代以来,国内外学者对广义凸函数的研究兴趣与日俱增,他们多方位、多角度、多途径地对广义凸函数的条件、结论进行广泛地拓展,取得了一系列研究成果[1-9]。1988年,文献[1-2]引入了不变凸集和预不变凸函数的定义,研究了它的性质及其在优化理论中的应用。2001年,文献[3]得到了预不变凸函数的若干性质。文献[4]根据条件 C得到了条件C′,并且讨论了条件C与条件C′的关系。

本文在此基础上对预不变凸函数作了进一步研究,在排除文献[3]中 X是开集及集合 A={λ∈[0, 1]:f(y+λη(x,y))≤λf(x)+(1-λ)f(y),∀x,y∈X}在[0,1]中的稠密性条件下,而得到了相同的结论,从而简化了一些预不变凸函数性质定理的证明。

1 预备知识

定义1 设X⊆Rn,如果存在一个向量函数η:Rn×Rn→Rn,使得∀x,y∈Rn;∀λ∈[0,1]有y+λη(x,y)∈X,则称集合X关于η是不变凸集。

定义2 设X⊆Rn是关于向量函数η:Rn×Rn→Rn的不变凸集,实值函数f:X→R,若∀x,y∈Rn;∀λ∈[0,1]有f(y+λη(x,y))≤λf(x)+(1-λ)f(y),则称f关于相同的η是预不变凸函数。

定义3 设X⊆Rn是关于向量函数η:Rn×Rn→Rn的不变凸集,实值函数f:X→R,若∀x,y∈Rn,∀λ∈[0,1],当x≠y时,有f(y+λη(x,y))＜λf(x)+(1-λ)f(y),则称f关于相同的η是严格预不变凸函数。

条件C:称向量函数η:Rn×Rn→Rn满足条件C,如果∀x,y∈Rn;∀λ∈[0,1]有:

条件C′:称向量函数η:Rn×Rn→Rn满足条件C′,如果∀x,y∈Rn;∀λ1,λ2∈[0,1]有:

条件D:设X⊆Rn是关于向量函数η:Rn×Rn→Rn的不变凸集,称实值函数f:X→R满足条件D,若∀x,y∈X,有f(y+η(x,y))≤f(x)。

条件H:如果λn∈[0,1],且λn→λ,则对 ∀ε＞0,∃正整数N,当n＞N时,对∀x,y∈X都有f(y+η(x,y))≤f(y+λnη(x,y))+ε。

由文献[5]可知:f是关于η的预不变凸函数。

引理1 设X⊆Rn是关于向量函数η:Rn×Rn→Rn的不变凸集,η满足条件C,则η满足条件C′。

引理2 设X⊆Rn是紧集,实值函数f:X→R上半连续,则f在X上取得最大值。

2 主要结果

定理1 设X⊆Rn是关于向量函数η:Rn×Rn→Rn的不变凸集,实值函数f:X→R,若f上半连续且满足条件D,η满足条件C′,则f关于相同的η是预不变凸函数⇔∃α∈(0,1)对∀x,y∈X,有f(y +αη(x,y))≤αf(x)+(1-α)f(y)。

证明 必要性显然。下证充分性。

令:

因f上半连续,则g(λ)在[0,1]上也上半连续,从而由引理 2知:g(λ)在[0,1]上存在最大值 M0。

令:

易知g(0)=0,由f满足条件D可知:g(1)=f(y+η(x,y))-f(x)≤0,因而λ0∈[0,1]。

选取δ,使得

令:

则由η满足条件C′得:

从而由题设条件有:

矛盾,故假设不成立,即 f关于相同的 η是预不变凸函数。

定理2 设X⊆Rn是关于向量函数η:Rn×Rn→Rn的不变凸集,实值函数f:X→R,若f下半连续,则f关于相同的η是预不变凸函数⇔∃α∈(0,1)对∀x,y∈X,有f(y+αη(x,y))≤αf(x)+(1-α)f(y)。

证明 必要性显然。下证充分性。令:

如果λn∈A,且λn→λ,则由A的定义,对∀x,y∈X,有:

又f下半连续,则f满足条件H,则对∀ε＞0,∃正整数N,当n＞N时,对∀x,y∈X都有:

由式(1)、式(2)可得:

由λn→λ和ε的任意性,有:

从而f关于相同的 η是预不变凸函数。

3 预不变凸函数在数学规划问题中的应用

设对于x∈X的求f(x)的最小值的数学规划问题为(P):

定理3 设X⊆Rn是关于向量函数η:Rn×Rn→Rn的不变凸集,实值函数f:X→R关于相同的η是严格预不变凸函数,如果是关于规划问题(P)的局部最优点,则一定是关于规划问题(P)的全局唯一的最优点。

假设x不 是规划问题(P)的全局最优点,则必存在∧x∈X,使得:

因为f:X→R关于相同的η是严格预不变凸函数,故对于∀λ∈[0,1]有:

当λ充分小时,有:

(Ⅱ)唯一性。假设x0,x1∈X为规划问题(P)的两相异全局最优点,则f(x0)=f(x1)。由于X⊆Rn是关于向量函数η:Rn×Rn→Rn的不变凸集,则对于∀λ∈[0,1]有x0+λη(x1,x0)∈X。因为f:X→R关于相同的 η是严格预不变凸函数,故:

这与x0是关于规划问题(P)的全局最优点矛盾,故规划问题(P)的全局最优点唯一。

综上可知:x0是关于规划问题(P)的全局唯一的最优点。

定理4 设X⊆Rn是关于向量函数η:Rn×Rn→Rn的不变凸集,实值函数f:X→R关于相同的η是预不变凸函数,则规划问题(P)的最优解集是不变凸集。

证明 设x,y是规划问题(P)的解,由于X⊆Rn是关于向量函数η:Rn×Rn→Rn的不变凸集,则对于∀λ∈[0,1],有z=y+λη(x,y)∈X。因为f:X→R关于相同的η是预不变凸函数,故:

即z=y+λη(x,y)也是规划问题(P)的最优解,因而规划问题(P)的最优解集是不变凸集。

注:定理3、定理4一方面可以看作是预不变凸函数的两个很好的性质,同时也表明预不变凸函数在数学规划中有着非常重要的意义和地位。

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