具有阶段结构的害虫-天敌模型的脉冲控制

黄利航 ,黄建科

(1.空军工程大学理学院,陕西西安 710051;2.西安陆军学院科学文化基础教研室,陕西西安 710108)

0 前言

在人类农业生产中,要消灭害虫,通常使用生物控制(利用害虫的天敌来捕食害虫)以及使用杀虫剂这两种方法。实践中经常把这两种方法结合起来[1],使用适量的杀虫剂,并且使天敌不至于灭绝。

在使用杀虫剂时,一般不会每天使用,而只是在一年的某些时间使用,例如在害虫的繁殖期进行脉冲形式的喷洒农药。近年来脉冲形式的模型越来越受到大家的关注,也得到了许多很好的结论[2-5]。但是,有些杀虫剂只对害虫的一个阶段起作用,比如蚜虫,喷洒药物只消灭其幼虫,这就需要采用阶段(年龄)结构的模型。这是近年大家关注的热点[6-7],本文就结合这几点来研究害虫-天敌模型在脉冲控制下的稳定性:

其中,x1为害虫的幼年种群;x2为害虫的成年种群;y为天敌种群;d1,d2分别为种群x与y的死亡率;b为成年种群的出生率;r1为从幼年转化为成年的转化率;r2为天敌种群的内禀增长率;a为捕食率;k为消化率。且所有的系数都为正常数,0＜p＜1。本文第1节研究p为常数时,模型的稳定性;第2节考虑脉冲作用下系统的稳定性。

1 没有脉冲控制时系统的稳定性

当连续使用杀虫剂时,考虑如下微分方程:

其中,p为常数,表示杀虫剂的使用率,即平均使用杀虫剂。设:

其中,ωi＞0;i=1,2。则V沿着系统(2)的解的导数为:

2 脉冲控制

当以脉冲形式喷洒杀虫剂时,对系统(1),由于天敌具有阶段结构,假设有性质 x1+x2=1。

2.1 无天敌的情况

则模型(1)转化为:

在脉冲区间积分式(4)的第1个方程得:

在连续脉冲下,幼年种群将会减少,

把x1(t0)=代入式(5),得到无天敌情况下周期解的完全表达式:

定义

定理2 当式(9)成立时,无天敌的周期解(x1(t),x2(t),y(t))是渐近稳定的。

证明 由于式(8)的T周期解的稳定性由其解的小振幅扰动决定,设:

其中,u(t),m(t),n(t)为小扰动,次线性化方程可写为:

其中,Φ(t)=φij(t),(i,j=1,2,3)满足:

其中,Φ(0)=I,I为单位矩阵。线性化系统(1)的第4,5,6个方程为:

由文献[8],令:

2.2 天敌种群不为0时的情况

由于x1(t)+x2(t)=1,可以简化系统(1)为:

且满足F2(x1,0)=θ2(x1,0)≡0,当x1(t)≠0时,θ1≠0;当y(t)≠0时,θ2≠0。利用文献[9]的记号以及计算公式,把时间T引入流Φ中,令Φ为式(10)的流,有U(t)=Φ(t,x0,y0),0＜t≤T,其中,U0=U(x0,y0);x0=x1(0);y0=y(0);U(T)=Φ(T,U0)。

且有下列公式:

定理3[9]如果＜1,d′0=0,那么:

(Ⅰ)若BC≠0,则系统(10)出现分支周期解。而且,当BC＜0时,周期解是上临界分支周期解;当BC＞0时,周期解是下临界分支周期解。

(Ⅱ)若BC=0,此方法无法判定。

利用定理[9],计算下列式子:

则N(τ0)＞0。可知N(t)为增函数,则B＞0。

定理4 当T＞τ0且充分接近τ0时,如果满足式(11),则系统(10)存在一个下临界正周期解。

3 结论

利用x1(t)+x2(t)=1,式(11)变形为:

比较式(9)与式(12)可知:当脉冲周期T大于τ0且在τ0附近变化时,系统的解由稳定变成不稳定,且随着y的增加根据脉冲周期T开始以较大的振幅振动。

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