小波分析发展及在测绘中应用综述

卢宗寿，何家裕，王家帮

(广西国土资源规划院，广西南宁 530022)

1 引言

小波分析是调和分析几十年来研究的成果，是在傅立叶变换发展百年的基础上发展而来，他有优于傅立叶变换的时频局域变换特征，能通过伸缩和平移有效提取信号中的有用成分，解决了傅立叶变换对非平稳信号不能有效改变窗口大小的问题，从而能更好地分析信号的缺点，因此有“数学显微镜”的美誉，被广泛应用于数学领域，工程领域，尤其是信息科学领域的方方面面。本文从小波的发展历史出发，介绍了小波分析理论在变形数据处理中的研究应用现状，提出在变形数据处理领域中仍有待解决的问题。

2 小波分析的产生与发展

自从1807年法国数学家Fourier从热传导理论提出Fourier分析以后，他凭借把一个函数展开为各种频率的谐波的线性组合，描述函数的性态和特征，整整两个世纪以来，整个工程分析几乎都属其范畴。但是Fourier分析只是一种纯频域的分析方法，他不能提供局部时间域上的函数特征。之后有科学家提出了加窗傅立叶变换，这样时频分辨率就固定下来。这种方法虽然解决了单纯研究频域的缺点，但是缺乏细化功能。为此，科学家们经过长期的努力终于找到了小波基。

1910年，Haar利用伸缩平移思想构造了第一个规范正交小波基，即Haar小波基，虽然它有非常好的紧支性，能成功刻画信号的局部化特性，但是由于它是不光滑的，对于刻画光滑信号，要比Fourier变换差得多，因此一直没有得到重视。1938年，Little wood－paley提出二进制频率成分分组理论，为多分辨思想奠定了基础。1984年，地质信号处理工程师 A.Grossman和J.Morlet，从地震信号资料分析出发，提出了“小波”概念，建立了连续小波的集合体系，促成了上世纪90年代初小波的兴起。

1986年，Meyer构造出了第一个具有快速衰减的小波函数之后，G.Battle和P.Lemarie给出了指数衰减的小波函数，通过伸缩和平移构成了L2(R)上的规范正交基。1989年，法国科学家S.Mallet和比利时女数学家I.Daubechies，将多分辨分析的思想引入到小波函数的构造和分解重构过程中，统一了小波基的构造方法，建立了塔式分解的快速算法。同时I.Daubechies还构造出了正交小波基和双正交小波基，为小波发展作出了巨大贡献。

20世纪90年代中后期以后，小波设计方法的多样性及与其他学科的相互渗透，小波分析开始应用到信号分析，图像处理，文字、语音识别，计算机视觉，数值分析，故障诊断等许多非常重要的领域。随着应用的扩宽，小波理论研究也在不断的深入研究。1994年，Goodman等基于r元多分辨分析建立了多小波的理论框架，1996年，Donovan，Geronima，Hardin 等构造了 DGHM 多小波。1995年，Sweldens提出了提升小波，为小波构造提供了新的技术。1999年，Donoho等人提出了脊波、曲波理论之后，样条小波、向量小波的理论也不断发展并应用到相关领域中。小波分析的另一个重要进展是V.Wickerhauser和R.Coifman的小波包概念。

随着小波理论的不断发展，小波理论在测绘学中的应用也取得了巨大的进展。

3 小波分析在测绘学中的现状

小波分析在数据处理中的应用开始与上世纪90年代中后期，主要用来提取GPS观测值的周跳检测、粗差检测、多路径误差、残差分析、变形信号的提取、变形的预测等。随着小波理论的不断发展，已取得骄人的成绩。

(1)小波分析在GPS数据处理中的应用

1995 年，F.Collin 和 R.Warant，最先将小波分析应用到GPS数据处理领域。之后熊永良，黄丁发，刘经南，C.Satirapod，C.Ogajia等进一步应用小波变换理论对GPS观测值进行周跳探测、粗差检测、多路径误差分析、残差分析，通过小波变换的带通滤波器提取细节信号，并将突变信号放大，以检测周跳，具有定位准确，自动化程度高的特点。通过小波变换的GPS观测值的信噪比有明显提高，消除或消弱了多路径效应和各种噪声，提高了GPS定位精度。近年来，小波分析在GPS数据处理领域得到了大力发展，蔡昌盛等在检测周跳的基础上，通过对高频系数进行处理，再与低频信号一起重构与原始信号比较以获得周跳修复值。罗兆文，王文等利用小波变换的多尺度分解筛选，将GPS不同的误差源从GPS结果中有效分离，提高了GPS定位精度。姚晓波等利用小波变换对GPS数据进行压缩，剔除多余的相关信息，保留数据基本特征，减少了后续数据处理的压力，取得了良好的效果。随着近年小波分析与其他领域知识的融合，学者们也不断探索小波分析理论在GPS数据处理中的应用研究，赵军祥基于小波分析的GPS周跳检测与修复，误差分析等设计了GPS数据预处理系统。徐金华等在磁罗经/GPS导航系统中，提出了一种基于调频高斯小波变换(MGWT:Modulate Gaussian Wavelet Transform)的故障诊断算法，它能够满足GPS在线检测软故障的要求，通过调节平移因子和拉伸因子，对GPS在信号遮蔽，失锁或受到干扰而输出的不可信导航数据进行有效的检测，从而可实现导航信息有效融合。尹廷华等将小波分析与神经网络融合来实现GPS周跳探测与修复，通过对比预测值的不同来确定周跳大小。

(2)小波分析在变形分析与预测中的应用

变形分析实质是一种变形量随时间或空间变化的信号，该信号往往包含有噪声污染，影响对变形因素的分析和趋势的提取。小波分析具有时频局部化特点能在时域和频域上准确定位信号的突变点。因小波多分辨分析特性，小波变换可在不同尺度上描述信号的局部特性。由于信号和噪声在小波域中有不同的性质，通过小波变换对信号进行多尺度分析，对于细节信号进行处理，对细节信号进行特征分析，再与低频信号进行重构，可最大限度保留真实信号，可以大大提高变形分析的精度。同时通过对频域的研究，可以对不同影响因素进行分类和筛选，分析信号的奇异性特点。随着多小波理论的不断发展，基于多小波的变形分析模型能更好地消除突变和暂态随机变形信号的噪声，保留更多的局部特性。小波变换与神经网络的融合为变形预测提供了新的方法，由于小波变换具有良好的时频特征，而神经网络具有良好的自适应能力和学习能力，用小波基做神经网络中的激活函数能更好地处理变形分析数据，以此对未来的变形做出精确的预报。随着小波分析理论的不断发展，小波基函数的研究不断深入，小波分析在变形分析中的应用将更为灵活，它与其他理论的结合使用，将进一步提高变形分析研究深度和广度。

4 小波分析在测绘学中有待解决的问题和展望

虽然小波分析理论已经在测绘学中广泛应用且取得了不小的成果，但由于小波理论研究的局限性，小波分析在测绘学中的应用还有以下一些问题需要解决:

(1)由于小波变换理论的不成熟，小波基选择没有一个统一的标准，如何根据测绘数据处理中数据序列的特点选择合适的小波基有待进一步的研究。

(2)多小波理论，二进小波理论和提升小波理论在测绘数据中有一定的应用但研究尚不够深入，特别是向量小波和高维小波还没有在测绘数据处理中得到应用，对这方面的研究将会对测绘数据处理领域产生一定的影响。

(3)小波理论结合模糊理论，变形理论，神经网络模型建立一种多模型网络有待进一步探索。

(4)小波理论在测绘领域中的应用还没有实现和设计出好的系统，小波理论与测绘仪器间的硬件结合也有待今后学者的广泛研究。

(5)小波理论在变形预测模型中的应用也有待进一步研究，以其固有的优势，提高预测精度和预测的可靠度。

(6)小波理论在测绘数据挖掘领域的研究还不够深入，将会是今后研究的热点领域。

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