一类包含P(x)-Laplace算子的偏微分方程解的存在性

顾建军，王晓明

（1.常熟理工学院数学与统计学院，江苏常熟 215500；2.无锡工艺职业技术学院基础部，江苏宜兴 214206）

一类包含P(x)-Laplace算子的偏微分方程解的存在性

顾建军1，王晓明2

（1.常熟理工学院数学与统计学院，江苏常熟 215500；2.无锡工艺职业技术学院基础部，江苏宜兴 214206）

研究变指数Sobolev空间中一类包含P(x)-Laplace算子的非线性问题．利用变指数Lebesgue和Sobolev空间理论框架，验证Palais-Smale紧性条件，并结合山路定理和变分法证明方程弱解的存在性．

P(x)-Laplace算子；变指数空间；Palais-Smale紧性条件；山路定理

0 引言及预备知识

包含具变指数增长条件的算子的微分方程和变分问题在数学物理，特别是弹性力学、流体动力学中有着重要的作用[1-3].变指数Lebesgue和Sobolev空间，即Lp(x)(Ω)和Wm,p(x)(Ω)空间理论的发展推动了对这些应用的进一步研究．关于变指数空间理论可见文献[4,5].

本文考虑以下问题：

其中Ω⊂RN,(N≥3)为具光滑边界的有界区域，λ＞0为实数．令m(x)=max{p1(x),p2(x)}.我们将证明在广义Sobolev空间W1,m(x)(Ω)中问题(Pλ)的非平凡弱解的存在性．在问题(Pλ)中当p2(x)≡2时，算子退化为Δp(x)u=div((|∇u|p(x)-2)∇u)，该问题近十年来已被广泛地研究，并取得了一些好的结果[6-9].

下面给出一些记法及空间的定义及性质．

命题0.3[4,5]下列结论等价：

命题0.4[10]

命题0.5[4,5]

引理0.7[11]（山路定理）令E为Banach空间,I∈C1(E,R),满足Palais-Smale条件，设I(0)=0,且存在实数ρ＞0及u,v∈E，使得

1 主要结论

2 定理1.2的证明

定理1.2的证明将主要依赖于验证以下Palais-Smale紧性条件和利用山路定理．

定理2.1（验证Palais-Smale条件）

设λ满足定理2.1的条件.如{un}⊂E为一序列满足以下条件:

由于m+＜h-,有Jλ(tω)→-∞.

定理1.2的证明

由山路引理Jλ(u)取得极值β＞α.Jλ'(un)→Jλ'(u),所以Jλ'(u)=0,为问题(Pλ)的一个弱解，又Jλ(u)＞0,所以为非平凡弱解，证毕．

令G={g∈C([0,1],E):g(0)=0,g(1)=v},其中由定理2.2命题2）,∃v∈E,设

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Existence of Solutions for a Class of Partial Differential Equations Involving p(x)-Laplace Type Operator

GU Jian-jun1,WANG Xiao-ming2

（1.School of Mathematics and Statistics,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China; 2.Dept.of Basic Courses,Wuxi Institute of Arts&Technology,Yixing 214206,China）

This paper studies a class of nonlinear problems involving p(x)-Laplace type operator in variable exponent sobolev spaces.Our approach relies on the variable exponent theory of Lebesgue-Sobolev spaces,combined with Palais-Smale condition,mountain pass theorem and some adequate variational methods.

p(x)-Laplace operator;variable exponent spaces;Palais-Smale condition;mountain pass theorem

O175.2

A

1008-2794（2010）10-0019-05

2011-05-20

常熟理工学院青年教师科研启动基金（ky2009107）资助项目.

顾建军（1979—），男，江苏扬州人，常熟理工学院数学与统计学院讲师，硕士，研究方向：偏微分方程控制论.