高等数学教学内容改革探索

赵冠华,王少英,岳 勇

(邯郸学院 数学系,河北 邯郸 056005)

高等数学不仅是大学教育阶段的一门重要基础课，也是培养大学生的创新能力和思维素质的重要途径之一.高等数学在不同学科、不同专业领域中所具有的通用性和基础性，使之在高校的课程体系中占有十分特殊的地位.高等数学的理论与方法，业已成为当代大学生知识结构中不可或缺的重要组成部分.数学严谨的思维方式和解决问题的科学方法，更是他们适应未来社会、具有可持续发展潜力的必备素质和基本能力之一.传统的高等数学教学体系，内容上要求面面俱到，理论上追求严密.随着我国教育改革的逐步推进，各专业课程设置和教学内容作了相应的调整，提高了对数学教学的要求，但同时缩减了数学教学的课时[1-4].高等数学内容多、课时少的矛盾进一步加剧，使得教师为了完成教学任务和教学进度，对一些重点的应该精讲细讲的内容不能完全展开讲，影响了教学质量和效果.而理论上严密、逻辑上严谨的要求更是严重束缚了教师的手脚，增加了学生学习的难度，从而不可避免地使一些学生对数学课程产生畏难情绪，影响他们的学习兴趣和学习效果.当前的高等数学教学改革方兴未艾，本文将结合自己的教学实践，主要针对高等数学的教学内容展开探讨.

1 借助几何直观，凸现知识内涵，突破解题壁垒

在高等数学的教学过程中，一般都会在讲解概念和定理时，介绍他们的几何意义.若能在传授知识的基础上，通过适当的图例讲解，借助几何直观，从发现问题、理请概念、避免误解、领悟方法等多侧面、多角度诠释内容，渗透几何意识，不但有助于学生深入理解教学内容，便于长时间记忆，而且有助于培养学生发现问题的意识，体现素质教育的本质要求.

柏拉图曾说过：“上帝永远在进行几何化”，这句话对高等数学的教与学两方面都有启迪.回顾高等数学的全部内容，几何直观几乎无处不在，譬如函数的极限、复合函数的极限、导数、积分和级数等概念，都有其深刻的几何背景.闭区间上连续函数的性质、微分中值定理、积分中值定理和格林公式等结论，也与几何背景密不可分.教师若能认真领悟其中的思想和方法，并内化到教学实践中，一方面可以从几何直观上深化概念、定理的理解，另一方面可以借助几何直观找到鉴别概念、运用定理的方法.这样，不仅会使自己的教学能力有所提高，而且能教给学生发现和认识数学规律的方法，使学生得到更多的益处.

2 适当整合知识，弱化难繁内容，减轻解题负担

高等数学的教学内容和体系，与社会对数学越来越高的要求之间的矛盾日益突出.为了改变这一现状，必须对高等数学的教学内容和体系进行调整和优化.近几年来，已经出版了许多新教材，但是基本上没有突破原有的逻辑框架，只是做了必要的删减，从某种意义上来说，并没有很好地解决高等数学既繁又难的问题.为此，需要在保留核心内容和思想方法的基础上，做进一步的大胆的探索.多元函数的求导(或偏导)是高等数学的核心内容，但是内容繁杂、方法多样.在教学过程中，可以借助父子、父女的遗传关系，形象地阐述和强化复合函数求导的链式法则，在有效地化解该知识难点的基础上，将隐函数和参数方程的求导法一并用链式法则予以解决，既可以避免要求学生机械地强记隐函数和参数方程求导法的结论和公式的尴尬，又使多元函数的求导(或偏导)的内容一气呵成，形成一个顺畅的整体.

在传统的教材上，一般仅有几处地方用无穷小来解决极限问题，对等价无穷小代换却一笔带过，把这一重要的思想和方法给忽略了，使得有些极限问题解决起来很繁，给学生的学习带来了负担和一些负面影响.在解题教学过程中，若能加强运用等价无穷小代换的意识，巧用几个重要的等价无穷小代换，不仅可以解决一些难繁极限问题，而且能领悟和掌握高等数学中的重要思想方法——代换.

掌握这些基本的思想和方法，不但有助于学生深入地理解学习内容，训练学生一法解多题的能力，而且有助于培养学生的抽象思维能力，增加教学的趣味性和深刻性.

3 讲透元素法，教会学生推导公式的方法

授之以鱼，不如授之以渔.元素法是运用定积分解决实际问题的重要方法，讲透元素法，不仅可以加深学生对定积分概念的理解，而且可以使学生学会自己利用元素法推导公式，领悟利用定积分解决问题的思想和方法.用好元素法，除了能解决教材中所列举的一系列几何的度量问题和某些实际问题外[5]，也能巧妙地解决其它的有关问题，并使这些问题化难为易，颇令人惊奇.

在重积分部分中，几乎所有教材都有这样一道例题：求两个等底的圆柱体直交形成的立体体积.教材提供的方法是利用空间图形的对称性和累次积分求解，但是要涉及到方程的写法和积分次序的选取，略显麻烦.在教学实践中，可以引导学生利用微元法求解，非常简洁明了，教学效果也相当不错.

4 渗透数学建模思想，教会学生将问题数学化的方法

数学应用意识较差的现状已引起人们的普遍关注.严士健先生曾指出：“教材应结合日常生活及其他领域中的问题，举出更好的例子，以使学生体验数学教学与生活的联系，训练学生应用数学分析问题解决问题的能力，更重要的是让学生具有应用数学的意识，真正认为数学有用，知道哪些生活、学习或生产问题可以用数学来解决”[6].在教学过程中，渗透数学建模思想是加强数学知识应用意识的不可替代的途径.不论用数学方法解决哪类实际问题，还是与其他学科相互结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是用数学的语言表述所研究的对象，即建立数学模型.

经典的微积分学理论是近代科学的伟大创造，它的背景包含了前人数学建模的过程，蕴藏着丰富的创新思维的轨迹.可以从费马在1629年为设计透镜寻求曲线在一点处的切线的思路入手，沿着数学大师建立开创性的理论模型的足迹，逐步抽象出导数的概念.这样，借助于生动的史实，使学生感受数学建模的神奇，领略将问题数学化的方法，从而激发学生对数学的热爱.

习题课是培养学生应用能力的重要环节.在习题课教学中，不应只讲授教材设置的习题，应适当选编一些好的实际问题作为示例和作业，让学生自己建立模型、并用所学数学知识来解决它.比如运用微分学解决有关营销的经济学问题，运用积分学做一些实际的测量，运用极值理论求解一些线性规划问题，运用梯度的性质求解高山速降的最佳路线等等.这样的教学过程具有实用性、启发性，其教育价值更大，既加深了学生对数学知识的理解，又强化了学生的数学应用意识.

数学建模几乎是一切应用数学作为工具去解决实际问题的必然选择.在掌握一定的数学知识后，在适当的切入点应用所学的数学知识解决或部分解决若干实际问题，不但能使学生认识到数学的重要作用，而且必然会激发学生掌握更多的数学知识的强烈愿望.

数学教师运用合乎实际且行之有效的教学方法是提高教学质量的保障，而依托教学大纲，创造性地选择教学内容的呈现形式则是提高教学质量的基础性工作.在教学过程中，只要下工夫对教学内容进行有机的梳理，并以合理的形式组织起来，再辅助以适当的教学方法，必将会收到事半功倍的效果.

[1]王爱云,张燕.高等数学课程建设和教学改革的研究和实践[J].数学教育学报,2002(2):84-87.

[2]杨宏林,丁占文,田立心.关于高等数学课程教学改革的几点思考[J].数学教育学报,2004(2.):74-76.

[3]郑映畅.高等数学教材改革与教学方法的探索[J].西华师范大学学报,2005(3):338-340.

[4]孙风琪.关于高等数学教学改革的某些探讨[J].吉林师范大学学报,2005(1):109-110.

[5]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京:高等教育出版社,1996(12).

[6]李薇.谈数学建模思想在高等数学教学中的渗透[J].红河学院学报,2005(3):73-76.