悬移质不平衡输沙模型的特征

丁，戴文鸿，钟德钰，唐立模，陈洪兵

(1.河海大学水利水电学院，江苏南京 210098;2.清华大学水沙科学与水利水电工程国家重点实验室，北京 100084; 3.上海市水利工程设计研究院，上海 200051)

目前，水沙数学模型已广泛应用于天然冲积河流的水流运动、泥沙输运及河床变形模拟计算.现有常见的水沙数学模型多数采用了2种处理方法:(a)基本控制方程简化，例如在水流连续方程中省略了河床可动性影响，运动方程中忽略泥沙输运及河床变形项等[1-2];(b)求解方法解耦，即在一个时间步长内将水流计算和泥沙计算分开，先求解水流方程得到相应流动要素后再求解输沙方程及河床变形方程[2-3].对于少沙河流而言，其水流含沙量较低，河床冲淤强度较弱且时间尺度较长，这种处理方法具有一定的适用性.但对于诸如黄河下游这样的多沙河流而言，水流运动、泥沙输运及河床变形之间存在强耦合、非线性的复杂过程，同时伴随一些异常现象的发生[4-5]，这种处理方法的有效性值得进一步研究.研究[6-8]表明，这种处理方式破坏了模型的耦合性，在进行多沙河流模拟时存在较大的局限性.

针对以上问题，国内外开展了相关研究[9-10].本文在前人研究的基础上，着重从数学模型的理论基础入手进行探讨.从数学性质上看，一维水沙数学模型构成一个双曲占优的系统，其重要特点是具有特征效应，即变量扰动沿特征线并以特征值这样的速度进行传播[11].因此，多沙河流数学模型耦合与否的一个重要标志是，水流运动、泥沙输运及河床变形之间的相互作用能否综合反映到双曲系统的特征关系上.而对于水沙数值模拟而言，能否充分反映水流运动与河床变形间的相互作用及耦合机制成为有效模拟的关键所在[3].

本文根据双曲系统的特征理论及奇异摄动理论系统推求了目前数学模型的特征值、特征向量及特征关系，分析了水流运动、泥沙输运及河床变形的相互作用机制，并进一步研究了一维耦合数学模型的特征值.

1 悬移质模型的特征值、特征向量和特征关系

目前对于推移质模型及全沙模型特征分析的结论揭示了水流运动与河床变形之间存在的复杂相互作用机制[12].由于多数多沙河流中的泥沙输运主要以悬移质运动为主，因此，悬移质不平衡输沙模型对于多沙河流中水沙运动现象的描述和模拟更具有针对性，且悬移质模型目前被广泛应用于多沙河流洪水演进与河床冲淤变形计算.对于多沙河流水流运动与河床变形的相互作用机制的研究而言，悬移质模型的特征分析则更具有理论价值.

1.1 特征值

现有一维水沙数学模型常见的基本控制方程为水流连续方程

水流运动方程

泥沙连续方程

河床变形方程

式中:t——时间;x——纵向坐标;h——水深;u——流速;zb——河床高程;i0——床面坡降;if——摩阻能坡;g——重力加速度;ρs——泥沙密度;ρw——清水密度;ρm——浑水密度;ρb——床沙饱和密度;p——床沙孔隙率;sv——含沙量;s*v——挟沙力;α——恢复饱和系数;ω——泥沙沉速.

这些基本方程由于简化程度不同可组合成不同形式的悬移质输沙模型.本文用DM(包括DM_1，DM_2和DM_3)表示非耦合模型，CM(包括CM_1和CM_2)表示耦合模型.其中:DM_1[1]由式(1)，(3)，(6)，(8)组成;DM_2[3]由式(1)，(4)，(6)，(8)组成;DM_3[2]由式(1)，(4)，(6)，(9)组成;CM_1[9-10]由式(2)，(5)，(7)，(8)组成.

从计算结果可知:DM_1，DM_2，DM_3和CM_1这4种模型的λ4(河床变形特征值)均为0，表示河床冲淤在纵向上不受水流运动与泥沙输运的影响;DM_1和CM_1的λ1，2(水流特征值)均为，与圣维南方程组特征值相同，λ3(输沙特征值)均为 u，未受河床冲淤的影响;DM_2和DM_3的 λ1，2均为 u±，虽然不同于DM_1，但均未受水流运动及河床冲淤的影响，λ3均为u.因此，从双曲系统特征理论角度看，这4种模型均没有达到特征耦合.

许协庆等[13]建立了饱和输沙模型(由式(2)，(5)和(10)组成的耦合模型)，并采用该模型分析了河床变形和水流运动的影响，其研究结果揭示了河床变形、泥沙输运与水流运动的相互关系.此外，推移质模型中河床变形对水流的影响在其特征关系上得到了体现[14].

1.2 特征向量

根据上述特征值可进一步导出DM_1，DM_2，DM_3和CM_1分别对应于特征值λ1，λ2，λ3和λ4的右特征列向量矩阵R1，R2，R3和R4，如式(11)～(14)所示.

式(11)～(14)右边第1列和第4列分别表示水流中的扰动向上游和下游传播的轨迹.与特征值的规律类似，除DM_3外，其他模型的水流运动未受泥沙输运和河床变形的影响.而DM_3河床冲淤对水流运动的影响也未得到体现.

1.3 特征关系

特征关系可以揭示特征线上各变量之间的相互约束关系.同时，通过特征关系，可将原有非线性偏微分方程转化成常微分方程，也可使得各变量的相互约束关系得到更直观和定量的反映.

DM_1的特征关系为

DM_2的特征关系为

DM_3的特征关系为

CM_1的特征关系为

从推移质模型和全沙模型的特征关系可以看出，河床冲淤变形产生的扰动对水流运动的特征值及特征关系会产生影响[12].但从式(15)～(18)所示悬移质模型的特征关系来看，上述4种模型在4根特征线上均能综合反映水流运动、泥沙输运及河床变形间相互作用的情况.从式(18)所示的特征关系不难看出，CM_1河床冲淤变形并未受到水流运动的直接影响.

2 一维耦合悬移质模型的特征值

2.1 模型耦合分析

现有数学模型采用的河床变形方程是根据床面运动学边界条件和某些假定(如平衡输沙假定)建立的一种床面局部平衡关系式[2-3]，未能反映河床纵向变化的影响.这是导致现有模型无法耦合的重要原因.为此，丁等[15]导出了守恒形式的河床冲淤层连续方程

式中:Δ z——河床冲淤厚度;ub——河床纵向运动速度;D——沉降通量;E——冲刷通量;ρ′b——床沙干密度.

事实上，当河床表面存在沙波运动时[16]，式(19)中ubΔz所表示的通量是由沙波运动推动的，而沙波运动与水流的Froude数密切相关[17]，因此ubΔz可表示成

式中k，m，n是与水流流态、含沙量等有关的量.

将式(20)代入式(19)，联立式(2)，(5)和(7)，可组成考虑河床纵向冲淤的悬移质耦合输沙模型(记为CM_2).

2.2 一维耦合数学模型的特征分析

为便于讨论，对CM_2中的各变量进行量纲为1的处理.根据奇异摄动理论[18]，通过渐进展开方法求得其4个特征值，分别为

其中

式中:H，U——恒定流水深及流速;F——恒定流弗劳德数;ε——河床变形对水流运动的扰动量，河床淤积时ε＞0(σ=1)，河床冲刷时ε＜0(σ=-1).

式(21)～(24)中的λ′1表示水流变化产生的负向波动，λ′2表示河床变形波动，λ′3表示不平衡输沙的波动，λ′4表示水流变化产生的正向波动.它们有2个显著特点:(a)各变量相互影响;(b)λ′1，λ′2有一个过渡区域，即.这表明，水流流态由缓流向急流变化时，水流运动和河床变形所受扰动均受到不同程度的影响.

现以λ′1为例说明水流运动与河床变形的关系.λ′1的结构表明，水流所受扰动在负向上的传播机制是不同的.当水流处于缓流或急流流态时，水流本身的扰动占主导地位;当水流处于过渡态时，河床变形的扰动会对水流运动产生较大影响.

河床不同淤积和冲刷强度对水流的影响如图1所示.由图1可以看出:当冲刷强度增大时，水流负向、河床变形正向特征值减小，不平衡输沙特征值变大，水流正向特征值略微变小;而当淤积强度增大时，水流负向、河床变形正向特征值显著增大，不平衡输沙特征值变小，水流正向特征值略微变大.

图1 不同冲、淤强度下特征值与流速的关系Fig.1 Variations of eigenvalues with velocity under different deposition strengths and scouring strengths

与DM_1，DM_3及CM_1的特征分析结果不同的是，本文所建立的耦合模型所构成的双曲系统的4个特征值综合了水流运动、泥沙输运及河床冲淤的影响.式(21)和(24)表明，水流运动明显受到河床变形及泥沙输运的影响;式(22)表明，水流运动与泥沙输运同时会影响河床变形的演变.应当指出的是，若动量方程(5)中不包括左端第5项(泥沙输运项)和第6项(河床变形项)，式(23)将退化为u，即不平衡输沙将不受水流运动与河床变形的影响.

3 结 论

a.多数悬移质输沙数学模型在特征上是解耦的.

b.悬移质输沙数学模型所采用的河床变形方程是基于局部平衡关系得到的，并不能揭示河床冲淤纵向变化所引起的质量和动量变化机制.

c.本文基于奇异摄动理论，通过渐进展开方法求得的适当简化后的模型所构成的双曲系统的4个特征值，分别表示了4个以不同波速传播的波的传播特点.与多数悬移质不平衡输沙模型的特征分析结果相比，耦合模型CM_2计算所得的特征值能够充分反映和定量描述水流运动、泥沙输运及河床变形的相互作用机制.河床冲淤强度越大，水流所受影响越大.λ′1与λ′2均有一个过渡区u=hF-1±O(ε1/2).河床变形主要受λ′1，λ′2所表示的波运动的影响，λ′3和λ′4所表示的波运动几乎不会对河床变形产生影响.

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