数学教学中的数学思想渗透

244000 安徽省铜陵市二中 章东红

数学教学中的数学思想渗透

244000 安徽省铜陵市二中 章东红

中学数学中蕴含的数学思想方法很多，最基本的数学思想方法有化归思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想等.如果将数学知识比喻成数学学科的血肉，那么数学思想方法就是数学学科的灵魂，教学中适时渗透数学思想方法，提高学生数学素养，乃是中学数学教学的精髓所在.

1 化归思想

化归就是转化和归结，它是数学解决问题的基本方法:在解决数学问题时，人们常常是将需要解决的问题，通过某种转化手段，归结为另一个相对较容易解决的或者已经有解决程式的问题，以求得问题的解答.

分析 很显然，此为解关于(x－1)为主元的一元二次方程.如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，将含有(x－1)的未知项换为y，这样原方程就转化为关于y的一元二次方程，问题就简单化了.

2 数形结合思想

数形结合的思想，可以使学生从不同的侧面理解问题，加深对问题的认识，提供解决问题的方法，有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力.

图1

如图1，线段AB=4.P为AB上一动点.设 PA=x，PB=y.CA⊥AB，DB⊥AB，A，B 为垂足，且CA=1，BD=2，

易知当点P，C，D在同一条直线上时，PC+PD最小.

作CE垂直DB的延长线于E.，易知EC=4，ED=2+1=3，

例3 求|x－5|+|x－6|的最小值.

分析 此题可通过去掉绝对值分类讨论.即分为三类 x＜5，5≤x≤6，x＞6，然后比较其结果，但比较繁琐，利用数形结合思想较为简单，一目了然.

解 将x看作实数轴上的任意一点，那么此问题转化为求实数轴的任意一点x到5的距离与到6的距离的和的最小值.

如图2:显然可看出其最小值为1，即x应是5，6之间的点到其的距离之和.

图2

3 分类讨论思想

分类源于生活，存在于生活，分类思想是自然科学乃至社会科学中的基本逻辑方法，也是研究数学问题的重要思想方法，它始终贯穿于整个数学教学中.

例4 已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的面积.

分析 应分△ABC是锐角三角形或钝角三角形两种情况分别求之.

解 AD是△ABC的高，由勾股定理，得

图3

图4

(1)若∠C为锐角，如图3所示，则BC=BD+CD=16+9=25，

(2)若∠C为钝角，如图4所示，则BC=BD–CD=16–9=7，

即△ABC的面积为150或42.

例5 一次函数y=kx+b的自变量取值范围是－3≤x≤6，相应函数值的取值范围是 －5≤y≤ －2，则这个一次函数的解析式为＿＿.

分析 本题的自变量x的取值和函数值的取值的对应关系不明确.

①若k＞0，则当x= －3时，y= －5，x=6时y= －2;于是有

4 方程思想

方程思想就是将数学问题转化为方程或方程组问题.通过解方程(或方程组)或者运用方程的性质来分

故所求的函数解析式是析、转化问题，使问题得以解决.

例6 △ABC 的三边 a，b，c满足 b=8－c，a2－bc－12a+52=0，试确定△ABC的形状.

解析 由题意得b+c=8，bc=a2－12a+52，

于是有了根与系数关系的模型，不妨设b，c是方程t2－8t+a2－12a+52=0的两实根，

即 －4(a －6)2≥0，所以 a=6.

从而得b=c=4，因此△ABC是等腰三角形.

5 函数思想

函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的反映.它的本质是变量之间的对应.辩证唯物主义认为，世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中，这就要求我们教学中重视函数的思想方法的教学.

例7 已知方程x2－(2－a)x+(5－a)=0的两个根都大于2，求实数a的取值范围.

分析 此题直接解不容易，我们不妨先构造函数y=x2－(2－a)x+(5－a)，则方程的两根都大于2的等价条件是

当然，初中数学学习的思想方法还有很多，象观察与实验、分析与综合、归纳与类比以及集合论的思想方法，几何变换的思想方法等等.我们在教学实践中应充分挖掘教材中的数学思想方法，有目的、有意识、有计划地进行渗透、介绍和强调，精心设计每一个单元、每一堂课的教学目标以及问题提出、情境创设等教学过程的各个环节.只有让其掌握了数学思想方法这把金钥匙，才能使其学好数学，提高数学素养，增强创新意识，提高创新能力.

20110319)