巧用中考试题进行中考复习(2)

100048 首都师大附中 张文娣

巧用中考试题进行中考复习(2)

100048 首都师大附中 张文娣

(接上期)

7 拓广变式

变式7 如图11在梯形ABCD 中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1.

(1)在直线AD上是否存在一点E，使△BCE是直角三角形?若存在，求出AE的长;

(2)若在，说明理由.(即把变式6中的“线段”换成“直线”)

分析 存在.分∠BEC=90°，∠BCE=90°，∠CBE=90°三种情况分别求解.

图11

8 一题多用变式

一题多用变式，就是以教材中的基本例、习题或中考题为集中目标，探讨该题及其变通形式的应用，挖掘基本题目的解题功能，从而提高学生的解题能力.

通过对上述【试题】的解答可以得到图12.

在图 12中，若∠A=∠D=∠BMC=90°，则△ABM∽△CDM.

这一结论有着广泛的应用，现举几例说明.

图12

变式1 (2006年山西)如图13，在正方形ABCD中，点E，F分别在边 BC，CD上，如果 AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCD的面积等于

图13

解 因为AE2+EF2=AF2=25，

所以∠AEF=90°.

又因为∠B=∠C=90°，由例1知△ABE∽△ECF，

变式2 (2006年安徽)如图14，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到l的距离分别为1cm，2cm，则正方形ABCD的边长为＿＿.

图14

解 由例1知△AMB∽△BNC，

且 AM=1，BM=CN=2.

图15

变式3 如图15，边长为2的正方形 ABCD，点 B在x轴上，C在 y轴上，∠OBC=30°，求 A，D 两点的坐标.

解 作DE⊥y轴，AF⊥x轴，垂足分别为E，F.

由例1得，△AFB∽△BOC∽△CED，

因为正方形边长为2，∠OBC=30°，

变式4 如图16，已知正方形ABCD 的边长为1，E，F，G，H 分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设 AE长为 x，正方形 EFGH的面积为S，则S关于x的函数大致图象是

图16

变式5 (2005年海淀)如图17，梯形 ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点 E在 BC上，且 AE⊥ED，若 BC=12，DC=7，BE ∶EC=1 ∶2，求 AB 的长.

解 因为BE ∶EC=1 ∶2，BC=12，

设 BE=x，EC=2x，

则 x+2x=12，解得 x=4.

所以，BE=4，CE=8.

由例1知 △ABE∽△ECD，

图17

变式6 (2006年河南)如图18，用形状相同大小不等的三块直角三角形木板，恰好能拼成如图19所示的四边形ABCD，若AE=4，CE=2BE，这个四边形的面积为

＿＿.

解 在矩形ABCD中，因为CE=2BE，设BE=x，CE=2x，AB=CD=y，

由例1知 △ABE∽△ECD

变式7 (2005年浙江)在直线l上依次摆放着七个正方形(如图20所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则

图20

解 因为在直线l上依次摆放着七个正方形，由例1 知△1≌△2，△3≌△4，△5≌△6.

变式8 (2008年北京)已知，如图21，一块三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的AB边上，并且使一条直角边经过点C，三角板的另一条直角边与AD交于点Q.

(1)请你写出此时图形中成立的一个结论(任选一个);

(2)当点P满足什么条件时，有AQ+BC=CQ，请证明你的结论;

(3)当点Q在AD的什么位置时，可证得PC=3PQ，并写出过程.

解 (1)△APQ∽△BCP.

(2)当P为AB中点时，有AQ+BC=CQ.

图21

证明 如图22，连接 CQ，延长QP交CB的延长线于点E.

可证△APQ≌△BPE，则AQ=BE，PQ=PE，

又因为CP⊥QE，可得CQ=CE，

所以AQ+BC=CQ.

图22

证明 如图23，在正方形ABCD中，

∠A= ∠B=90°，AD=BC=AB，

又因为直角三角板的顶点P在边AB上，

所以∠1+∠2=180°－∠QPC=90°

因为 Rt△CBP 中，∠3+∠2=90°，

图23

变式9 (2008年北京)如图24，梯形ABCD中，BC∥AD，∠BAD=90°，AD=18，BC=24，AB=m.在线段BC上任取一点P，连接 DP，作射线 PE⊥DP，PE与直线AB交于点E.

(1)当CP=6时，试确定点E的位置;

(2)若设CP=x，BE=y，写出y关于 x的函数关系式;

(3)在线段BC上能否存在不同的两点P1，P2使得按上述作法得到的点E都分别与点A重合，若能，试求出此时m的取值范围，若不能，请说明理由.

解 (1)作DF⊥BC，F为垂足.

当PC=6时，

由已知可得，四边形ABFD是矩形，FC=6，

∴点P与点F重合，又BF⊥FD，

图24

∴此时点E与点B重合.(2)当点P在BF上(即6 ＜x≤24)时，如图25.

∵∠EPB+∠DPF=90°，∠EPB+ ∠PEB=90°，

∴∠DPF=∠PEB.

∵∠B=∠PFD=90°

图25

图26

综合以上知

假设在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件，即方程①有两个不相等的正根，

首先要△=(－30)2－4×(144+m2)＞0，

(3)解法1 能找到这样的P点.当点E与点A重合时，y=EB=m，此时点P在线段BF上，

解法2 能找到这样的P点.

当点E与点A重合时，

∵∠APD=90°，∴点P在以AD为直径的圆上，设圆心为Q，则Q为AD的中点.

要使在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件，

只要使线段BC与⊙Q相交，即:圆心Q到BC的距离d满足0＜d＜

一题多用变式，实际上是对基本题目解答后的特征探究与经验应用，属模型解题.经常进行这种训练，可以培养学生经验意识，提高解题能力.

(全文完)

20110326)