线电荷与圆柱导体间的相互作用

喻莉 杨植宗 何艳

(武汉空军雷达学院基础部 湖北 武汉 430019)

1 引言

在静电场中，当电荷附近存在某一导体时，导体表面会出现感应电荷.由于感应电荷的分布情况及其总带电量不太容易得出，那么求解电荷与导体间的相互作用就比较困难.但是如果电荷是点电荷或线电荷，且导体形状是平面、球或圆柱面时，就可以采用镜像法来求解.在电磁学或电动力学中，镜像法是计算静电场问题的一种重要方法[1～2].本文在用镜像法求解线电荷与接地圆柱导体间相互作用的基础上，通过增加镜像电荷的方法，进一步分析求解得出了线电荷与绝缘圆柱导体、与电源连接的圆柱导体间的相互作用.

2 线电荷与圆柱导体间的相互作用

2.1 线电荷与接地圆柱导体间的相互作用

如图1，一半径为a的无限长接地圆柱导体外放有一线密度为ρl(设ρl>0)的无限长线电荷，且圆柱导体的轴线与线电荷平行，间距为d.由于静电感应，圆柱面上的正电荷将会被排斥后运动到远离线电荷的一边，并沿着导线入地，而圆柱面上的负电荷将会被吸引后运动到靠近线电荷的一边.那么此时圆柱导体的镜像电荷是怎样的呢？

图1 线电荷与接地圆柱导体

(1)由于圆柱面上有一部分正电荷沿导线入地，故圆柱面面电荷总量为负值.因此镜像电荷的电量一定是负值.

(2)根据对称性，圆柱面的面电荷必然以Ox轴对称分布，故镜像电荷必定位于线电荷与圆柱轴线所决定的平面上.

(3)为使圆柱导体面上各点的电势为零，镜像电荷应该是位于圆柱面内部且与轴线平行的无限长线电荷.

由于在垂直于线电荷的所有截面上电场的分布均相同，因此可以取任意一截面来进行研究，这样就将三维情况简化为二维.如图1，现假设镜像电荷的线密度为ρl′，距离圆柱的轴线为d′ .选取x轴上任意一点m(m>a)为零势参考点.圆柱面上任意一点P(a,β)的电势应为ρl和ρl′在该点产生的电势之和，而P点的电势又为零，故

(1)

求解(1)式[3]可得

ρl′=-ρl

此时，线电荷ρl与圆柱导体间的相互作用就等于线电荷ρl与镜像电荷ρl′之间的相互作用.ρl′在圆柱面外空间任一点N(r，ψ)的电势为

(2)

由电场强度E′=-▽φ′,则在ρl所在位置的电场强度为

（1）保证所有施工段的工作量基本一致，严格按规定时间对每一段进行施工，完成一段施工后，按计划及时进入下一个阶段的施工，进而保证总体施工进度。

(3)

则单位长度线电荷ρl所受的作用力为

(4)

可见，它们之间的相互作用表现为引力.

2.2 线电荷与绝缘圆柱导体间的相互作用

与2.1中的条件相同，但将无限长接地圆柱导体换为不带电的无限长绝缘圆柱导体，如图2.同样，由于静电感应，在圆柱面上就将会出现密度不同、符号不同的面电荷分布.那么此时圆柱导体的镜像电荷是怎样的呢？

(1)由于圆柱面上的面电荷总量为零，故镜像电荷的总量也为零.

(2)圆柱面的面电荷仍然以Ox轴对称分布，故镜像电荷还是位于线电荷与圆柱轴线所决定的平面上.

(3)圆柱导体面为等势面，故镜像电荷和线电荷ρl在圆柱面上各点所产生的总电势应处处相等.

图2 线电荷与绝缘圆柱导体

如2.1中一样引入一线密度为ρl′的镜像电荷后，显然镜像电荷和线电荷ρl在圆柱面上各点的总电势处处相等，但此时镜像电荷的总量不为零.要让镜像电荷的总量为零，显然还需引入一线密度为ρl″的镜像电荷，且ρ″=-ρl′.而为了保证圆柱面上的电势处处相等，该镜像电荷就应该放在圆柱面的轴线上.这样就可以用两个镜像电荷来代替圆柱面上的感应电荷，那么线电荷ρl与圆柱导体间的相互作用就等于线电荷ρl与两个镜像电荷之间的相互作用之和.此时ρl″和ρl′在圆柱面外空间任一点N(r，ψ)的电势为

(5)

由电场强度E′=-▽φ′,则在ρl所在位置的电场强度为

(6)

则单位长度线电荷ρl所受的作用力为

(7)

此时，它们之间的相互作用也表现为引力，且小于圆柱导体接地时的情况.

2.3 线电荷和一个与电源连接的圆柱导体间的相互作用

与2.1中的条件相同，但将无限长接地圆柱导体换为与一电动势为ε的电源相接的无限长圆柱导体，如图3.此时圆柱导体的镜像电荷是怎样的呢？

图3 线电荷与电源相接的圆柱导体

(1)圆柱面的面电荷仍然以Ox轴对称分布，故镜像电荷还是位于线电荷与圆柱轴线所决定的平面上.

(2)圆柱面上的电势处处相等，电势为φ.故镜像电荷与线电荷在圆柱面上产生的总电势应处处为φ.

在2.1中，当放入镜像电荷ρl′后，在ρl和ρl′的作用下，圆柱导体面上的电势处处为零，但此时，我们要求其电势处处为φ，因此，我们还需在圆柱导体的轴线上放入另一线电荷ρl″ ，并且该电荷必须在圆柱面上产生的电势为φ.由于ρl″在圆柱面上产生的电势为

故

此时ρl″和ρl′在圆柱面外空间任一点N(r，ψ)的电势为

(8)

由电场强度E′=-▽φ′，则在ρl所在位置的电场强度为

(9)

则单位长度线电荷ρl所受的作用力为

(10)

此时，它们之间的相互作用即可能是引力也可能是斥力.

3 小结

本文用镜像法解得线电荷与接地圆柱导体、绝缘圆柱导体、连接电源的圆柱导体间的相互作用，所得结论具有一定的普遍性.对于无限长线电荷位于无限长圆柱导体内时的情况，本文的方法也同样适用.无限长圆柱导体虽为一物理模型，但当圆柱导体的长度远远大于线电荷到圆柱导体间的距离时，圆柱导体便可看作无限长，因此本文所得结论仍具有一定的参考价值和实际意义.

参考文献

1 兰明乾.用电像法讨论点电荷与导体球间的相互作用．物理与工程，2008，18(4)：21～23

2 邓卫娟.与电象有关的互作用力及其所作功和互能．大学物理，2004，23(11)：30～33

3 郭硕鸿．电动力学(第二版)．北京：高等教育出版社，1997.56