混合Poisson分布及其在风险理论中的应用

魏艳华，王丙参，李艳颖

（1．天水师范学院数学与统计学院，甘肃 天水741001；2．宝鸡文理学院数学系，陕西 宝鸡721013）

混合Poisson分布及其在风险理论中的应用

魏艳华1，王丙参1，李艳颖2

（1．天水师范学院数学与统计学院，甘肃 天水741001；2．宝鸡文理学院数学系，陕西 宝鸡721013）

对非同质保单组合建立了一元混合Poisson分布模型，并对具有相依风险的保单组合中两种保险责任的索赔次数（N1，N2）建立了二元混合Poisson模型，利用母函数与矩母函数研究了一元及二元混合Poisson分布的优良性质，二者特别适合刻画非同质风险的索赔次数，混合Poisson分布的方差越大于均值，保单组合中的非同质性就越显著．

混合Poisson分布；母函数；索赔次数

在保险领域中，许多被用来模拟保险理赔额的分布函数（cdf）可能既有连续部分，也有离散部分 （正的跳跃），并且有以下两种概率不可忽视：（1）无理赔发生的概率；（2）理赔额等于最大保险金额的概率，能够产生此种类型r．ν的一个简单灵活模型就是混合模型［1－4］．作为混合分布族中的一类，混合Poisson分布在风险理论中扮演着非常重要角色［5－7］．在研究离散型r．ν时，母函数（pgf）与矩母函数（mgf）是非常方便的工具［8］，签于此，本文利用pgf与mgf研究了一元及二元混合Poisson分布的优良性质，二者特别适合刻画非同质风险的索赔次数．

1 混合分布

定义1．1［5］给定r．νX，Θ，X相对于Θ＝θ的条件分布为Fθ（x），Θ的cdf为G（θ），则X的cdf Fx（x）我们称FX为Fθ关于G 的混合cdf．

在实践中，保险公司往往会获得同一险种的多份保单，因此，研究该保单组合中任意一份保单的理赔次数分布具有重要意义．若保单组合中所有保单相互独立，且都有相同风险水平，即各保单的理赔额分布相同，理赔次数分布也相同，则称为同质性．此时，任意一份保单的风险水平都代表了整体的风险水平，但是，没有任何两份保单具有相同或近似的风险水平．为保证保单组合的同质性，通常，保险公司按照某些风险分级变量的取值，将不同的被保险人分组，如性别、年龄、地域等，但由于种种原因，即使同一组内的保险人，他们的风险水平也不可能完全一样，因此，对不完全同质的保单组合，可考虑混合次数理赔模型［3］．假设每张保单的理赔额的分布一样，且理赔次数分布属于同一类型，但参数θ不一样，代表了不同的风险水平，即Θ为一r．ν，cdf为ν（θ）＝P（Θ≤θ），pdf为u（θ），Θ的通常称为结构函数．由全概率公式可得pk＝P（N ＝k）＝｜θ）u（θ）dθ，其中GN（z｜θ）＝E（zN｜Θ＝θ），E［N］＝Var［E［N｜Θ］］．

2 一元混合Poisson分布

若当Λ＝λ时，N～P（λ），则称N为混合Poisson分布．由全期望公式及条件期望的性质可得E［N］＝E（E（N｜Λ））＝E（N｜Λ＝λ）｜λ＝Λ＝E（Λ），Var（N）＝E［Λ］＋Var［Λ］，显然，混合Poisson分布的方差大于均值，方差越大于均值，保单组合中的非同质性就越显著，Var［Λ］正是反映保单组合中非同质性程度的结构函数的方差．

定理2．1［9］（Mace da定理）若混合分布的原型是Poisson分布，结构分布的支撑是非负集，则此混合分布为无穷可分的充要条件为：结构分布是无穷可分的．

定理2．2［9］设混合分布的pgf为G（z），若其结构分布是无穷可分的，则此混合Poisson分布也是复合Poisson分布，即G（z）＝exp｛λ［G2（z）－1］｝，其中G2（z）是某一r．ν的pgf．若约定G2（0）＝0，则G2（z）是唯一的．

混合Poisson分布还有以下性质：1）对任一个混合Poisson分布，其结构分布是唯一的；2）混合Poisson分布的方差不小于其均值；3）两个混合Poisson分布的卷积仍是混合Poisson分布，其结构分布是两个混合Poisson分布中结构分布的卷积；4）若结构分布是非负的、连续的、单峰的，则混合Poisson分布也是单峰的；

在风险集体中，假设索赔次数N～P（λ），参数λ未知，是变量∧的输出值，在有些情况下，如果选择一个参数分布∧，能比较好的拟和观测到的理赔数据，就会很方便．

（1）离散型结构函数

假设保单组合由n种不同的风险水平构成，参数Λ取值为｛λ1，…，λn｝，λ1＜…＜λn，且当ak＝P（Λ＝λk）时，理赔次数N～P（λk），则从保单组合中任意抽取一份保单组合的理赔次数分布P（N ＝k）＝若保单组合只有两类风险水平组成，低风险比例为a1，高风险比例a2＝1－a1，则EN ＝a1λ1＋a2λ2，Var（N）＝a1λ21＋a1λ1＋a2λ22＋a2λ2－（a1λ1＋a2λ2）2．

（2）连续型结构函数

1）Γ（α，β）：适用理赔额分布尾概率不太重的情况，例如：在机动车险中，对自己车辆损伤情况；

2）LN（μ，σ2）：适用理赔额分布尾概率稍微重一些的情况，例如火灾险中的理赔额分布；

3）Pareto（α，x0）分布：在发生大理赔的可能性很大时可用此分布，特别是在责任险中；

4）逆高斯分布：当理赔次数的经验直方图尾部较厚时，逆高斯分布是一个比较理想的选择；

若 ∧～Γ（α，β），则理赔次数N 的mgf 为：mN（t）＝E［E［etN｜其中α，β的值可由风险集体索赔次数的统计资料得到估计．对于一个初始投保人，其索赔频率可初步估计为但一旦获得该投保人过去n年索赔次数的观察值（k1，…，kn）时，应对这一估计进行后验修正．f（λ｜k1，…，kn）＝

则f（λ｜k1，…，kn）～Γ（k＋α，n＋β），均值和方差分别为当n→∞时，索赔频率

若一年内某地区发生重大交通事故N次，第i次事故中伤亡人数为Li，则总伤亡人数S＝其中N～P（λ），称为主分布，Li～log（c），称为次分布，即P（Li＝k）＝h（c）＝－log（1－c）．mS（t）＝ mN（logmL（t）－1）＝expλ（mL（t）－1）＝ （exp｛h（cet）－h（c）｝）hλ（c） ＝即S是一个复合负二项分布．另一方面，伤亡者的总人数S是P（λ）次的重大车祸导致的伤亡人数之和，服从一个复合Poisson分布［8－9］，可见一个复合负二项分布可以写成一个复合Poisson分布．这也说明了某些复合分布不能唯一确定其主分布与次分布．

3 二元混合Poisson分布

基本假定：设混合分布的结构函数u（λ）对应的r．νΛ 属于某分布族Ξ＝ ｛uθ（x），x∈ ［0，∞］，θ∈Rq｝，其中Rq为某开区域，q为参数向量θ的维数．若Λ∈Ξ⇒cΛ∈Ξ．在基本假定下，设某保险公司保单组合中包含两种风险，索赔次数分别为N1，N2，总索赔次数N＝N1＋N2，若在给定Λ＝λ的条件下，N1，N2相互独立且分别服从参数为aλ，bλ的单变量Poisson分布，则称 （N1，N2）为二元混合Poisson分布［9］．

引理3．1 pgf 具有以下性质［6］：

1）非负整数值r．ν的分布列由其pgf唯一确定；

2）设G（z）＝E（zX），若EX 存在，EX ＝G′（1），若DX 存在，DX ＝G″（1）＋G′（1）－［G′（1）］2

3）独立r．ν和的pgf等于pgf之积

4）若r．νX1，X2，…i．i．d，r．νN 与X1，X2，… 独立 ，它们取值都为自然数，则Y ＝H（z）＝G（P（z）），其中G（z），P（z）分别是N、X1的pgf

5）设X的pgf为GX（z），则Y＝aX＋b的pgf为其中a，b为非负整数

［1］ 王丙参，魏艳华，石春燕．泊松分布与负二项分布在模拟索赔次数中的应用 ［J］．河北北方学院学报：自然科学版，2011，27 （02）：13－16

［2］ 魏艳华，王丙参．风险交换与停止损失再保险 ［J］．河北北方学院学报：自然科学版，2011，27（01）：68－70

［3］ 肖争艳．风险理论 ［M］．北京：中国人民大学出版社，2008：80－100

［4］ 周绍伟．理赔额服从混合指数分布的泊松风险模型 ［J］．山东科技大学学报，2007，26（01）：99－100

［5］ 张博著．精算学 ［M］．北京大学出版社，2005：325－430

［6］ 王丙参，罗英勇，田玉柱．混合分布与风险 ［J］．通化师范学院学报，2010，31（10）：11－12

［7］ 王丙参，罗英勇，冉延平．概率论中常用的几个变换 ［J］．天水师范学院学报，2011，31（02）：20－22

［8］ 高洪忠．精算分布理论研究 ［M］．北京：知识产权出版社，2008：60－100

［9］ 刘长标．二元混合Poisson分布及其再保险中的应用 ［J］．湖北大学学报：自然科学版，1999，21（04）：334－337

Mixed Poisson Distribution and Its Applications in Risk Theory

WEI Yan－hua1，WANG Bing－can1，LI Yan－ying2
（1．School of Mathematics and Statistics，Tianshui Normal University，Tianshui 741001，Gansu，China；2．Department of Mathematics，Baoji University of Arts and Sciences，Baoji 721007，Shanxi，China）

This paper establishes one－mixed Poisson distribution model of combination of non－homogeneous policy，and binary mixed Poisson model of the numberof insurance claims about two kinds of insurance in the combination of policy portfolio with dependent risk．It discusses the excellent property of unitary and bivariate mixed Poisson distribution by using generating function and moment generating function，both of which suitably describe the number of claims of homogeneous risk．The greater variance of mixed Poisson distribution is than its mean，the more significant non－homogeneity of the policy portfolio is．

mixed Poisson distribution；number of claims；generating function

O 211．3

A

1673－1492 （2011）06－0013－04

来稿日期：2011－10－21

甘肃省自然科学研究基金计划 （096RJZE106）；天水师范学院科研基金 （TSA0931）

魏艳华（1978－），女，吉林四平人，天水师范学院数学与统计学院讲师，硕士．

刘守义 英文编辑：刘彦哲］