不定方程x2＋mxy＋ny2＝z2的一族整数解

管训贵

（泰州师范高等专科学校数理信息学院，江苏 泰州225300）

不定方程x2＋mxy＋ny2＝z2的一族整数解

管训贵

（泰州师范高等专科学校数理信息学院，江苏 泰州225300）

讨论不定方程x2＋mxy＋ny2＝z2满足一定条件的整数解．主要利用分解法，给出了不定方程的一族整数解．不定方程x2＋mxy＋ny2＝z2的一族整数解为x＝k （na2－b2），y＝k （2ab－ma2），z＝k （na2－mab＋b2），式中m，n，k，a，b均为整数．

不定方程；整数解；分解法

1 引言及主要结论

先约定：文中字母若无特别说明，均表示整数．

文献 ［1－5］讨论了不定方程x2＋y2＝z2，指出其一切整数解可表示成

或

式中b＞b＞0，gcd（a，b）＝1，a，b一奇一偶．

本文利用分解法，讨论不定方程x2＋mxy＋ny2＝z2，并给出关于x，y，z的一族整数解公式．

定理 设m，n是给定的正整数，则不定方程

的一族整数解可表示成

式中m，n，k，a，b均为整数．

2 分解法的意义与基本步骤

文献 ［6］指出，分解法是一种技巧性很强的初等方法，很多步骤上的想法都是跳跃性的．由于这种方法的本质是把不定方程不断展开，化为容易处理或熟知结果的方程，因此使用这种方法常常需要有这方面较为丰富的知识和经验．

对于一般的不定方程用分解法求解的基本步骤如下：

Ⅰ．将f，g分解成f＝f1f2，g＝g1g2（如果f和g都可分解的话）

Ⅱ．在g1≠0时，令gcd（a，b）＝1，代入 （3）得g2＝λf2，于是 （3）可化为方程组

Ⅲ．解方程组 （4）可得 （3）的一族整数解 （或一切整数解）

dxi＝2 XiXn（i＝1，…，n－1），式中gcd（Xi，…，Xn）＝1，d＞0使gcd（x1，…，xn）＝1．

利用分解法，还可以得到不定方程x4＋y4＋z4＝w2的一族整数解为

3 定理的证明

由 （1）整理得

当z＝x时，y＝0或mx＋ny＝0为方程 （5）的平凡解．下面求方程 （5）的非平凡解．

解 （6）关于z，y的方程组得

选择x＝k（na2－b2），可得

于是 （2）是方程 （1）的一族整数解，定理证毕．

由该定理直接可得下列推论

推论1 不定方程x2＋my2＝z2的一族整数解可表示成

式中k≠0，a，b不全为零．

式中k≠0，a，b不全为零．

［1］ 华罗庚．数论导引 ［M］．北京：科学出版社，1979：313－314

［2］ 柯召，孙琦．谈谈不定方程 ［M］．上海：上海教育出版社，1980：37－40

［3］ 潘承洞，潘承彪．哥德巴赫猜想 ［M］．北京：北京大学出版社，1992：87－89

［4］ 管训贵．不定方程x2－py2＝z2的正整数解 ［J］．河北北方学院学报：自然科学版，2009，2（05）：5－7

［5］ 管训贵．关于不定方程x2＋ （p－1）y2＝pz2［J］．河北北方学院学报：自然科学版，2011，26（01）：12－14

［6］ 曹珍富．丢番图方程引论 ［M］．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1989：23

On Integer Solutions of Indefinite Equation x2＋mxy＋ny2＝z2

GUAN Xun－gui
（School of Mathematics，Physics ＆Information Science，Taizhou Normal College，Taizhou 225300，Jiangsu，China）

The integer solutions to an equation x2＋mxy＋ny2＝z2which satisfy some conditions are given．By using decomposition method the solutions satisfying the conditions are obtained．The integer solutions of indefinite equation x2＋mxy＋ny2＝z2are x＝k（na2－b2），y＝k（2ab－ma2），z＝k（na2－mab＋b2），where m，n，k，aand b are integers．

indefinite equation；integral solution；decomposition method

O 156

A

1673－1492 （2011）06－0011－02

来稿日期：2011－10－26

泰州师范高等专科学校重点课题资助项目 （2010－ASL－09）

管训贵（1963－），男，江苏兴化人，泰州师范高等专科学校数理信息学院副教授．

刘守义 英文编辑：刘彦哲］