基于一类复合型性能指标的线性最优控制问题

张 驰，赵 春

（天津师范大学 数学科学学院，天津 300387）

基于一类复合型性能指标的线性最优控制问题

张 驰，赵 春

（天津师范大学 数学科学学院，天津 300387）

讨论基于一类复合型性能指标的线性最优控制问题.应用最优控制理论推导出问题的最优控制解的形式，得出最优控制是不依赖于系统状态的开环控制.另外得到了最优价值函数的具体形式，并证明了价值函数关于系统状态x是线性的.

线性系统；开环控制；复合指标

考虑下列线性最优控制问题（P），其状态方程、目标泛函分别为

其中控制变量u不受约束，目的是寻求使目标泛函J（u）取极小值的最优控制.A，C是n×n阶连续常数矩阵；B和R分别是n×m阶和m×m阶连续常数矩阵；f（t）∈Rn是关于t的已知连续向量函数；在［t，T］上，R（t）≥μI，这里μ为正实数，I是单位矩阵；h和q是Rn中的单位向量，权系数α≥0，β≥0.

1960年，经典的有限维线性最优控制问题已被Kalman解决［1］.1971年，Athans研究了线性二次型高斯估计与控制问题［2］.有关线性最优控制问题的主要结果见文献［3－6］.近几年各国学者对最优控制问题的实际应用又做了许多研究，2009年Pachter研究了齐次系统的最小能量控制问题［7］，在此基础上，有关最优控制问题的研究更加深入，除了状态方程的变化外，还应用了各种不同形式的性能指标，例如一般的复合型性能指标

本研究对末端状态x（T）和系统状态x（t）附加新的要求，定义一类新的复合型性能指标，表示为

其中d（t）由式（13）给出.

关于最优控制问题（P）的结果是有重要意义的，由式（17）表示的最优控制并不由系统状态x决定.系统中不存在反馈作用，控制器的作用是开环操作.此外，最优控制也不依赖于初始状态x0，所有的控制行为完全依赖时间t.另外，本研究得到了价值函数V（t，x）的具体表达式，容易看出价值函数（18）关于系统状态x是线性的.

［1］ Kalman R E.Contributions to the theory of optimal control［J］.Mex Math Soc Bull，1960，2（5）：102－119.

［2］ Athans M.The role and use of the stochastic linear－quadratic－Gaussian problem in control system design［J］.IEEE Trans Autom Control，1971，16（6）：529－552.

［3］ Anderson B D O，Moore J B.Optimal Control：Linear－Quadratic Methods［M］.New York：Prentice Hall，1998.

［4］ Jacobson D H.Extensions of Linear－Quadratic Control，Optimization and Matrix Theory［M］.San Diego：Academic Press，1977.

［5］ Jacobson D H，Martin D，Pachter M.Extensions of Linear－Quadratic Control［M］.Berlin：Springer，1980.

［6］ Bellman R E.Linear Equations and Quadratic Criteria［M］.San Diego：Academic Press，1967.

［7］ Pachter M.Revisit of linear－quadratic optimal control［J］.Optim Theory Appl，2009，140：301－314.

A class of linear optimal control problems based on compound performance

ZHANGChi，ZHAOChun

（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

A class of linear optimal control problems based on compound performance is studied.The form of the optimal control solution is derived using optimal control theory，and it is proved that the optimal control is open－loop control which does not depend on the state of the system.Moreover，the formula of the optimal value function is obtained，and the value function is proved to be linear in the statexof the system.

linear system；open－loop control；compound performance

O175.1

A

1671－1114（2011）04－0023－04

2011－03－05

国家自然科学基金资助项目（60972089）；天津市高等学校科技发展基金计划资助项目（20060401）；天津师范大学博士科研启动基金资助项目（5RL047）

张 驰（1986—），男，硕士研究生.

赵 春（1963—），男，教授，主要从事控制论及其应用方面的研究.

（责任编校 马新光）