基于MAT LAB下对单摆实验中大摆角问题的讨论

万明理,何金娜

(平顶山学院,河南平顶山 467000)

基于MAT LAB下对单摆实验中大摆角问题的讨论

万明理,何金娜

(平顶山学院,河南平顶山 467000)

借助MATLAB计算软件,研究无阻尼状态下单摆的大摆角运动,给出了任意摆角下单摆运动周期的精确解。同时利用MATLAB函数库中的ode45函数,求解出大摆角下的单摆的运动方程及其运动规律,为单摆实验中大摆角问题的讲解提供了较好的教学辅助手段。

单摆;周期;MATLAB

单摆问题是高中物理及大学普通物理实验教学中的一个基础问题。单摆在摆角比较小时,其运动规律近似为准简谐振动。但是当摆角比较大时,即单摆在大摆角情况下运动时,这种近似已不在成立,其运动方程满足非线性微分方程。因此,对摆角大小的限制成为该实验中必须满足的条件。不同的实验条件下,最大摆角的取值不同,其中包括 3°,5°,10°,10.75°,15°甚至 20°等[1-5]。因此,这就为在实验过程中对摆角的统一取值造成困难,给实验带来较大的误差。同时,学生对单摆在大摆角情况下运动时其运动周期及运动规律的理解也存在困难。MATLAB是用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言。本文将借助于MATLAB这个强大的数学软件,计算了任意摆角下单摆运动周期的精确解,消除了摆角问题带来的误差。同时利用该软件,仿真出大摆角时单摆的运动情况,为单摆测重力加速度实验中大摆角问题的讲解提供了较好的手段。大学物理实验中的很多问题都可以借助MATLAB解决。

1 单摆运动周期

单摆是一种物理模型。设质量为m、摆长为l的单摆在重力场中作无阻尼振动,由牛顿第二定律得,单摆的运动方程为:

当摆角θ较小时,由于sinθ≈θ,方程(1)化简为

这是一个简单的谐振动方程,其解析解为:

当摆角较大时,这种近似sinθ≈θ不再成立。公式(1)是一个非线性微分方程,其解析解很难求出。但是通过积分的方法,作变量代换,就可得到大摆角运动时单摆的周期的积分形式:

其中θ0为单摆的最大摆角。此公式适用于任意摆角下单摆运动周期的计算。

2 利用MATLAB处理问题

2.1 单摆大摆角的周期精确解

图1 单摆周期的精确解

运行结果后,得图1。如图1所示,随着摆角的增大,单摆的运动周期T与T0比值T/T0越来越大,即单摆运动周期随着摆角增大变大。当摆角θ0≥1.6rad,单摆的运动周期会急剧增加。

2.2 大摆角单摆的运动规律运动

图2 单摆的大摆角运动规律

运行后,得图 2。实线代表方程(2)的解,是一条正余弦曲线,为典型的简谐振动。虚线代表大摆角情况下方程(1)的解。

2.3 讨论

如图1所示,随着单摆摆角的增大,单摆的周期也会增加,这样很简单的就找到了为什么用单摆测量加速度时,摆角要小于 5°。因此,借助MATLAB强大的绘图功能,能够帮助学生更深入理解单摆大摆角运动下周期的变化规律。同时,图2中两根曲线表明:大摆角振动时,单摆的运动轨迹并不是简单的正、余弦曲线(虽然很相似),而且,最大摆角越小,两根曲线越相似;摆角越大,分离越明显。由于这种相似性,在粗略研究单摆运动时,方程(1)的可以采用一种近似求解方法——余弦函数法。将周期表示成如下方式:

其中θm为单摆最大摆角。

3 小 结

利用MATLAB强大的数值计算能力和绘图能力,非常简便的解决了单摆运动过程中大摆角导致的问题。这对于工科的物理实验教学提供了很多方便,同时也有利于学生深刻的理解单摆问题。在大学物理实验的很多问题中,例如,都可以借助MATLAB的优点,方便的求解问题。

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MATLAB Applied in Wide-angled Simple Pendulum Movement

WAN Ming-li,HE Jin-na

(Pingdingshan University,Pingdingshan 467000)

Using MATLAB,period of the simple pendulum without resistances is calculated accurately.While,with the help of MA TLAB ede45,movement equation of wide-angled simple pendulum is solved simply.

simple pendulum;period;MA TLAB

O321

A

1007-2934(2010)06-0075-03

2010-06-11