基于范数的唯一稳态消谐法及在消除中性点接地电力系统铁磁谐振中的应用

冯 平, 王尔智, 王维俊

(1. 解放军后勤工程学院 机械电气工程系，重庆 401311; 2. 沈阳工业大学 电气工程学院，辽宁 沈阳 110178)

目前，对这种铁磁谐振问题主要采用的研究方法有如下几种.第一是实验研究[3-4]，即通过大量的实验数据得到各种经验结论.第二是进行数值模拟和仿真[5-6]， 通过建立模型，在大范围内改变参数，通过计算机计算得到或验证参数的范围.第三是理论研究[7-8]，即对这种谐振建立相应的数学模型，通过对模型的理论分析，了解这种谐振的机理，并且寻找消除谐振的方法.这3种方法中，理论分析具有决定性的意义，主要有作图法[1，8]、谐波平衡法[5-6]、平面相图法[4]、幅频法、描述函数法[1-3]、非线性动态系统理论[4，7]等.但由于该问题数学上的复杂性，目前采用的都是各种近似的方法，得到的结论和试验数据往往有一定的差距.因此，提出和发展新的分析铁磁谐振的方法，并对该问题进行更深入的分析很有意义.

唯一稳态消谐法是近年出现的消除非线性系统谐振新的分析方法[9].该方法的基本思想是如果非线性系统存在一个非谐振的正常解,并且该系统具有唯一的稳态,则此时对应的条件就是系统不发生谐振的条件.本文将这一方法应用在消除中性点接地电力系统铁磁谐振的分析中，以矩阵范数为工具，得到了相应的消谐条件.本文的结果表明，消除谐振的条件可以用一个矩阵的范数条件来决定，并用数值模拟进行验证，表明结果正确，同时也说明了唯一稳态消谐法的有效性.

1 等效电路及其数学模型

以图1的电路作为中性点接地电力系统铁磁谐振的模型[1].

图1 铁磁谐振等效电路Fig.1 Equivalent circuit for ferroresonance

基准值[3]为：对所研究的220 kV系统，三相电压vbase=220 kV， 单相电压vbase=127 kV,单相视在功率Sbase=100 VA， 角频率ωbase=314/rad/s， 阻抗的基准值为Rbase=16 MΩCbase=1/(Rbase×ωbase)=1/(5.06×1010)F.

互感器磁链与电流关系由一个三阶代数方程表示如下：

i=aΨ+bΨ3，

(1)

式中，Ψ为互感器磁链,此处取：

a=3.42，b=0．41.

对于(1)式表示的非线性电感，可以用分段折线来近似，当 |Ψ|≤0.5， 取i=3.42Ψ； 当 |Ψ|≥0.5， 取i=8.808 8Ψ-4.041 2.

对应于图1，按照图中的参考方向，可以得到电路的状态方程为：

(2)

归一化后电路的微分方程可表示如下：

(3)

可以证明，电路至少存在一个以T为周期的解[12].

对于方程(2)，设其任意两个有界解为

{Ψ,q}, {Ψ*,q*}，

并令

∆Ψ=Ψ-Ψ*, ∆q=q-q*，

于是可以得到增量状态方程为：

(4)

考虑(4)的一般形式：

dX/dt=A(t)X，

(5)

X=(xij)1×n,A(t)=(aij(t))n×n.

显然，如果 (5)的零解X=0 是全局渐进稳定的，即：

则图1所示电路的稳态唯一，即系统的不谐振条件.

下面推导消除系统谐振条件.

2 电路唯一稳态的条件

唯一稳态消谐法是近年出现的消除非线性系统谐振新的分析方法[9].该方法的基本思想是如果非线性系统存在一个非谐振的正常解,并且该系统具有唯一的稳态,则此时对应的条件就是系统不发生谐振的条件.按照这一方法，对于图1和状态方程(3)，大量实验和运行经验表明有多个稳态解，其中最常见的稳态解，就是没有发生谐振时，对应于系统正常工作状态的稳态解.系统的其他非正常的稳态解，则是由于扰动，引起C与L之间的铁磁谐振造成的稳态解.显然这些非正常的稳态解对于系统是有害的，如果我们能够使经扰动后的非正常稳态解趋于正常的稳态解，即使系统的稳态解唯一，那就可以达到消除系统铁磁谐振的目的.这样，消除铁磁谐振的问题此时就转化为求系统的唯一稳态的问题.

为了求得系统的唯一稳态，我们进行如下的讨论.

首先，设：

A(t)=(aij(t))n×n，P=(pij)n×n，

Q= (qij)n×n， 为N阶方阵，

如pij≤aij(t) ≤qij;t≥t0;i,j=1,2,….n，

则记

P≤A(t) ≤Q.

同时，定义

‖A(t)‖=

并引入如下记号：

M=Q-P=(mij(t))n×n，

α=‖M+MT‖.

引理1 对任意实对称阵A(t)的最大特征值,有：

λmax≤‖A(t)‖.

证明设x=(ζ1,ζ1,ζ1, …,ζn)T是A的最大特征值对应的特征向量，记

在上述不等式两端消去 |ζi1|， 同时注意到

|λmax-ai1i1|≥|λmax|-|ai1i1|，

因此有：

对矩阵AT按上述相同的步骤，可得：

注意到A是实对称阵及‖A‖的定义，引理1证毕.

定理1 对于(5)式, 如果：

则(2)有唯一稳态.

证明由记号，有

λi(AT(t)+A(t))≤

注意到：

所以

即：

由定理假设，有：

λi[AT(t)+A(t)]≤-δ<0.

对(5)式

x=A(t)x

作Lyapunov函数v=xTx有[12]：

dV/dt=xT[AT(t)+A(t)]x≤-δxTx，

即(2)的零解全局渐进稳定，(2)有唯一稳态.

证毕.

下面根据定理1，推导消除谐振的条件.

对比(4)式，(5)式，显然，有：

由定理1，得到图1所示的铁磁谐振电路不发生谐振的条件为定理2.

定理2 对于图1所示电路，其不发生谐振的条件为：

-2RKL(t)<0，

-2/CR1<0，

-2R2KL(t)+|KL(t)-1/C|<0，

-2/CR1+|KL(t)-1/C|<0.

根据文献[6]取参数(均为标幺值)E=1，a=3.42，b=0.41，C=0.5， 3.422.0, 0

3 数值模拟与讨论

下面取不同的参数，在不同的初始条件下，对电路进行模拟仿真，以检验电路是否发生谐振.初始条件顺序为：磁链、电容电荷、时间，初始条件按文献[6]选定.

模拟结果表明，如果电路参数满足定理2的条件，则电路无论在何种初始条件下，虽然经过非常复杂的振荡过程，其稳态都将是唯一的，最终所有解都将趋近正常解，不会出现铁磁谐振，验证了本文给出的条件的正确性.

图2是其中一组数据的振荡过程.

初始条件：Ψ0=2.4,q0=1.4,t0=0.

图2 电路稳态相图Fig.2 Circuit’s steady state diagram

4 结 论

本文根据唯一稳态消谐法的基本思想，利用矩阵范数，分析了消除中性点接地电力系统的铁磁谐振的参数条件，得到了相应的消谐条件.同时，通过数值模拟进行验证，表明结果正确，同时也说明了唯一稳态消谐法的有效性.

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