眼科病床的合理安排

李 翀 北京林业大学工学院机械系 100083

张 昊 北京林业大学理学院数学系 100083

刘亚军 北京林业大学理学院电子系 100083

眼科病床的合理安排

李 翀 北京林业大学工学院机械系 100083

张 昊 北京林业大学理学院数学系 100083

刘亚军 北京林业大学理学院电子系 100083

该研究基于规则为等待制的病床排队服务系统，通过综合考虑医院和患者两方面利益，确定了病人门诊后等待入院的时间、等待队长及入院后准备手术的时间三个指标。通过数学建模，提出病人优先级的概念，进而通过MATLAB编程实现对截止到该日还没有入院的病人队伍进行重排，建立合理病床安排模型，可求出病人入院、出院的大致时间，并大大提高了病床的利用率。

优先级别；等待队伍的重排；线性规划；MATLAB

1.问题的提出

1.1 背景

医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。如何对门诊患者的排队情况进行有效的管理、提高患者满意度,已经成为医院管理研究中的热点问题。本文中所讨论的就是某医院眼科病床的合理安排问题。

1.2 需解决的问题

我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。

该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。

白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。

外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。

其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2～3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。

该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。

问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。

问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对模型利用问题一中的指标体系作出评价。

问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。

2、问题的分析

眼科病床的合理安排问题是一类带复杂约束条件的运筹优化与归类问题。此题的关键是正确的分析处理数据，建立合理的床位安排模型，从而解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。从医院资源的现状来看，存在很多约束条件，如病床数量有限、不同类型疾病手术时间不同和医生安排问题等。因此我们需要建立满足这些约束条件的床位安排模型，确定各类病人相对合适的入院和手术时间，解决原FCFS模型排队人数越来越多的问题。

2.1 对该医院眼科现行床位安排方案的理解

目前该医院眼科床位的安排原则是对外伤急症病人实行有空床是立即安排入院，对全体非急症病人按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院。即对于外伤急症病人，我们认为其优先权最大，即可以随时插队，这里的插队理解为可以无条件的排在先到的非急症病人之前，而不可以排在先到的外伤急症病人前。

2.2 数据的综合分析

(1)数据的分类

很显然，已知数据可以分为三大类，其中第一类数据是病人门诊时间、入院时间、手术时间、出院时间均已知；

例如：

对于第一类数据，我们理解为这些病人在医院的整个治疗过程均为已知，且这些病人都已经离开了医院。对于第二类数据，我们理解为这些病人目前仍然住在医院内，且他们的出院时间还是未知，另外我们注意到这一类数据共有79个，即这79位病人就是2008年9月11日这一天正住在医院内的79位病人。对于第三类病人，我们理解为这些病人目前还在等待入院的队伍当中，他们的入院时间需要我们用模型来确定。

（2）数据的筛选

我们模型的基本思路是对入院时间在7月25日之后（包括7月25日）的病人重新安排入院时间，这是因为7月25日之前每天的入院人数不能确定。由于外伤急症病人的处理方法是床位有空时立即安排住院，因此数据中那些7月13日之后到来，7月14日到7月25日之间入院的外伤急症病人不属于我们重新排队的病人范围。即我们选用门诊时间在7月13日之后并且入院时间在7月25日之后的病人数据。

（3）疾病的类型

该医院眼科手术主要分为四大类，即白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。其中，我们根据题目中的条件可以知道，白内障又分为单眼白内障、双眼白内障，视网膜疾病与青光眼都可以归为其他疾病一类中。这样我们可以将眼科疾病分为以下四类，即外伤、单眼白内障、双眼白内障、其他疾病，本论文中，我们讨论问题时，也是按照这种分类来讨论的。

2.3 模型建立的约束条件

（1）该医院眼科的基本条件：认为该医院眼科每周七天均工作。

（2）该医院眼科住院部共有病床79张。

（3）眼科各类疾病的手术安排原则

a)白内障：白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。

b)外伤：外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。

c)其他疾病（包括视网膜疾病和青光眼）：这两类眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2～3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。

（4）考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。我们理解为周一、周三只做白内障和外伤急症手术。这与（3）中手术安排原则相符合。

3.评价指标体系

评价一个病床安排模型的优劣要以患者与医院两方面的利益为标准。就患者来说总希望等待时间越短越好，但是就医院来说，希望尽量缩短每个病人使用病床的时间，进而在相同的时间里，可以服务更多的病人。因此我们需要建立合理的病床安排模型，尽量使病床周转率高，使病人平均等待时间短。

3.1 指标一：等待队长

我们规定等待队长为医院每天早上门诊接待病人之前，所有已看过门诊但还未入院的病人人数，用L表示。

等待队长越短，床位安排模型越合理。问题二中我们选取9月11日的等待队长作为评价指标。

3.2 指标二：等待时间

T1表示病人的门诊时间；T2表示病人的入院时间；T3表示病人的第一次手术时间；T4表示病人的出院时间。

我们规定等待时间为病人从门诊时间到入院时间所等待的时间，用Tw来表示，则Tw=T2-T1。

平均等待时间越短，床位安排模型越合理。关于此指标，我们知道由于外伤急症的优先权一直最大，这些病人等待的时间必然会很少，而其他几种疾病的等待时间则与外伤的有比较大的差别。因此将所有病人分为两类，其中A类病人为外伤急症病人，B类病人为所有非急症病人。我们分别计算出A、B两类病人的平均等待时间，平均等待时间越小则床位安排模型越合理。

3.3 指标三：准备时间

我们规定准备时间为病人从入院时间到第一次手术时间所等待的时间，用Tp来表示，则Tp=T3-T2。

平均准备时间越短，床位安排模型越合理。由于各类手术所需要的准备时间在该类手术的安排原则中均已有规定，所以大部分情况下，各类疾病的准备时间应该是一个基本确定的数，但是由于入院安排的不合理性，可能会出现一些准备时间特别长的情况。为此，关于此指标，我们可以统计出现准备时间超过正常值的次数。次数越少，则说明床位分配的模型越合理。

4.模型的建立与评价

4.1 模型假设

（1）各病人的到达与离去是相互独立的，每个病人治疗时间相互独立。

（2）只有外伤疾病考虑急症，其他眼科疾病不考虑急症。

（3）已住院病人的准备时间在正常值范围内服从模型手术时间的安排。

（4）对于医院病床排队服务系统，即使没有空位置（空床），病人也会进入系统排队等待治疗，即排队规则为等待制。

（5）该医院住院部一周七天均安排住院与手术。

（6）每个病人的治疗时间（出院时间与第一次手术时间的间隔）依据个体的病情不同是一个确定值。

4.2 模型建立

考虑到该院手术时间的特殊安排（如白内障手术只在周一周三做），因此我们考虑基于住院时间长短来对等待队伍进行重排。我们决定将一周七天分成三类，医院在安排某天有哪些病人入院时，首先判断该日为星期几，属于哪一类，每一类针对病情有不同的入院优先级安排。通过对截止到该日还没有入院的病人队伍进行重排，建立合理病床安排模型。具体如下：(特别说明：由于外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，因此无论周几，外伤的优先级都是最高的,先安排外伤病人入院。)

符号和变量说明：

A——优先级别

W1——病人入院后等待手术的时间（等待手术时间=第一次手术时间-入院时间）

W2——病人的治疗时间

W——病人的住院时间，即为W1+W2

（1）我们设定判断病人优先级别大小的标准是：住院时间越短，优先级别越高。即W越小，A越大。为方便起见，不妨设A=1/W

（2）必须考虑白内障病人的术前准备时间需1～2天，其他疾病的术前准备时间需2～3天等条件，我们可以由病人入院是星期几来确定满足上述条件的最短等待手术时间。图表2列出了各类病人在不同的工作日入院后等待手术所需的时间.

（3）重排某天的等待入院病人时首先考虑该日为星期几，然后从表中读出各个病人的在该日入院后等待手术的时间W1，我们已假设各个病人的治疗时间是一个确定值，可以从2008-07-13到2008-09-11的病人信息中通过出院时间与第一次手术时间作差计算出W2。

a.若该日为周六或周日，则优先级大小为 白内障双眼＞白内障单眼＞其他疾病

表1 各类病人等待手术时间与入院时间的关系表

图1 优先级模型程序流程示意图（除外伤病人）

b.若该日为周一或周二，则优先级大小为白内障单眼＞其他疾病＞白内障双眼

c.若该日为周三、周四或周五，则优先级大小为其他疾病＞白内障双眼＞白内障单眼

去除外伤剩余三类病人安排的流程图如图1所示。

（4）计算出各个病人的优先级别A=1/ W

（5）优先级别A大的病人排在队伍的最前边，最先安排其入院。

4.3 模型求解

通过MATLAB编程，重新安排出7月25日病人的入院情况，查图表2即可算出病人的手术时间，进而计算出7月25日入院的病人的出院时间，按找该模型如此循环下去，继而重新安排出7月25日到9月11日每天有哪些病人入院。

4.4 模型评价

我们要用问题一中确定的评价指标来分析评价我们的模型。为此，我们先统计计算出该医院现行方案的各个指标，再求出我们所建模型的各个指标，将两组指标进行比较。

4.4.1 该医院现行床位安排方案的评价

（1）、等待队长：

9月11日这天，按FCFS方案安排床位的等待队长即为题中所给数据中第三类数据的个数，即等待队长L=102。

（2）、等待时间：

对于病人的等待时间，我们分别统计计算出所给数据中前两类数据A、B类病人的平均等待时间。其中A类外伤急症病人的平均等待时间为1天，B类非急症病人的平均等待时间为12.65天。

（3）、准备时间：

我们统计出信息表中的前两类数据中准备时间大于3天（不含3天）出现的次数，为68次，其中最长准备时间为7天，共出现10次。

4.4.2 我们所建病床安排模型的评价

（1）、等待队长：

我们根据我们的模型通过matlab编程，最终求得9月11日有62人等待入院，即9月11日的等待队长L=62

（2）、等待时间：

对于病人的等待时间，我们分别统计计算出所给数据中前两类数据A、B类病人的平均等待时间。其中A类外伤急症病人的平均等待时间为0.2天，B类非急症病人的平均等待时间为8.2天。

（3）、准备时间：

我们统计出信息表中的前两类数据中准备时间大于3天（不含3天）出现的次数，为1次，最长准备时间为4天。

通过比较我们所建病床安排模型与该医院现行FCFS模型的三个指标，我们得出等待队长、等待时间和准备时间都明显缩短，因此我们的模型优于该医院现行的FCFS模型。

5.本论文的分析与评价

5.1 本论文的优点

（1）优先级的考虑。在本方法中，我们基于时间效用，建立优先级排队策略，即根据该眼科对于各类病人的手术安排方法，规定了周一至周日七天中每天各类疾病的优先级。这样，我们可以在每天都安排优先级最大的病人入院，很大程度上加快了等待队伍到入院的速度。

（2）合二为一的化简思想。题目中说道该医院手术医生的安排是我们建模时需要考虑的一个因素。我们将手术医生的安排与不同类型手术的安排合二为一考虑，即假设提前将手术医生的安排根据目前该医院眼科现行各类疾病的手术安排原则确定下来，使医生的安排可以满足现行手术安排的原则，从而只考虑具体各类病人的安排问题，而不再考虑医院手术医生的安排。这样的化简使我们可以只考虑时间与病人的安排，而不在考虑手术医生的安排，降三维问题为二维问题。

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10.3969/j.issn.1001-8972.2010.14.090