数学问题解决的教育功能探析

◆杨桂春

(江苏盐城高等师范学校)

数学问题解决的教育功能探析

◆杨桂春

(江苏盐城高等师范学校)

问题解决是数学教育的中心环节和目的所在,重视问题解决能力是数学教育改革和发展的方向,问题解决教学具有重要的教育功能,能激发对数学的情感,促进学生对数学学习的兴趣,形成正确的数学观。

数学问题 问题解决教学 教育功能

20世纪 80年代以来,问题解决已成为国际数学教育的一种潮流。什么是数学问题解决呢?美国数学教师全国委员会 1980年出版的用以指导80年代学校数学教育的纲领性文件《行动的议程》指出:“问题解决包括数学应用于现实世界,包括现时和将来出现的科学理论与实际服务,也包括解决拓广数学科学本身前沿的问题;问题解决从本质上说是一种创造性的活动,问题解决能力的发展,其基础是虚心,是好奇和探索的态度,是进行试验和猜测的意向”。同时,明确提出了应当以“问题解决作为学校数学教育的中心”,这与波利亚在《数学的发现》中的观点是完全一致的。波利亚指出“关于数学教学的目标,我有一种老式的想法,即首先和主要的是必须教会那些年青人去思考……”教会思考“意味着数学教师不仅仅应该传授知识,而且也应当去发展学生运用所传授的知识的能力:他应当强调由实践而来的能力,有益地思考方式及应有的思想习惯。”

1988年,发表的美国《21世纪的数学基础》更是明确提出“数学问题解决是把前面学到的知识用到新的和不熟悉的情景中的过程,而学习数学的主要目的在于问题解决。”

一、数学问题与数学问题解决教学

1.数学问题

张奠宙教授认为,“数学问题”解决中的问题大致可分为以下三类:

一是可以构建数学模型的非常规的实际问题。非常规的问题往往不是纯数学化的问题模式,而是一种情境,一种实际需求,只是为了克服实际碰到的困难。数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象,数学问题要能够给学生提供尝试建立数学模型的机会。所谓建立数学模型,即把研究对象用数学语言和方法表述为具有一定结构的数学体系,让学生根据观察和实验的结果尝试运数学思想以及归纳、类比的方法得出猜想,然后再进行证明。最后,将经证明正确的结论再回归到实际情境中去。

二是探究性问题。所谓探究性问题是指通过一定的探索、研究去深入了解和认识数学对象的性质,发现数学规律和真理的问题。这里对于对象之间的数量关系、图形性质及其变化规律、数学公式、法则、命题、定理等的探索和发现,虽然只是对前人工作的一种重复和再现,但知识形成、发展过程的意义则被学习者重新建构。

三是开放性问题。开放性问题旨在培养学生思维的灵活性、发散性,因而也有利培养学的创新精神、创新意识。

数学问题来源于人类的生产、生活实践,来源于人们了解自然、认识自然的科技活动。数学问题和数学“问题解决”是数学活动的核心所在,希尔伯特说:“某类问题对于一般数学进展的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的作用是不可否认的。只要一门科学分支能提出大量问题,它就充满着活力;而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或终止。正如人类每项事业都追求着确定的目标一样,数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决,研究者锻炼其钢铁意志,发现新方法和新观点,达到更为广阔和自由的境界。”

2.数学问题解决教学

数学问题解决一般方法是通过对所给问题的分析,理解问题背景的意义,从中找出它们认识结构中已有数学知识的联系,在此基础上构建相关数学模型,使非常规问题变成常规问题,然后运用数学思想、方法及数学知识对建立的数学模型求解,最后再将求解结果返回到实际问题中去进行检验。

建立数学模型解决实际问题的一般过程可用框图表述如下:

数学问题解决教学是通过创设情境,激发求知欲望,使学生亲身感受和体验分析问题解决问题的全过程。它强调使用数学的意识,培训学生的探索精神,合作意识和实际操作能力。通过问题解决教学能使学生对数学知识形成深刻的、结构化的理解,形成自己的、可以迁移的问题解决策略,从而产生更为浓厚的学习数学的兴趣、形成认真求知的科学态度和勇于进取的坚定信念。

关于数学问题解决教学,郑毓信教授认为:“问题解决”应当成为数学教育的中心环节。数学教育应以帮助学生学会数学地思维作为主要目标,并以“问题解决”促进具体数学知识和技能的学习。对大多数学生来说,解决问题的能力不会“自然而然”地形成,需要长期的、充分的实践和适当的教学。

二、问题解决教学的教育功能

1.激发对数学的情感,提高学习数学的兴趣和品质。

在数学教学实践中,常常有学生会问:“为什么要学数学,学了数学有什么用?”认为“学习了数学除了应付考试以外没有任何价值”,许多教师往往会教育学生数学知识很重要,数学方法很有用,但到底有什么用又说不清楚,导致学生对数学缺少情感,对数学学习缺乏兴趣。

数学问题具有非常规性、探究性及开放性特征。非常规性的问题往往不是纯数学化的问题模式,而是一种情境,一种实际需求,只是为了克服实际碰到的实际困难。学习者亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程,在获得对数学理解的同时,学习者在思维能力、情感态度与价值观等方面也将会有进一步的发展。

数学问题的探究性特征,决定了学习者对于对象间的数量关系、图形性质及其变化规律、数学公式、法则、命题、定理等的探索和发现,虽然只是对前人工作的重复和再现,但知识的形成、发展过程被学习者有意义的重新构建。“数学学习过程充满着观察、实验、模拟、推断等探索性和挑战性活动。教师要改变以例题、示范、讲解为主的教学方式,引导学生投入到探索交流的学习之中。”

通过探究,不仅可以培养学生的数学思维能力、科学探索精神,而且可以使学生在数学学习活动中获得成功的体验,从而建立自信心,这对于培育学生形成完整独立的人格具有重要的作用。

《课程标准》建议教材可以“提供一些开放性 (在问题条件、结论、解题策略或应用等方面具有一定的开放程度)的问题,使学生在探索过程中进一步理解所学知识”,许多开放性问题的探讨与解决过程会综合运用许多不同学科的不思想方法,表现出思维的多向性、灵活性和创造性,有利于培养学生的创新精神、创新意识,从而养成思维的灵活性、发散性。

2.促进正确数学观的建立和形成

所谓数学观即关于“数学是什么”的问题的具体分析。我们应当树立这样的观念:应把数学看成是人类的一种创造性活动,而不应把数它看成是某些凝固的、僵化的“知识”(包括概念、命题、算法、解题技巧等)的简单汇集。

就数学活动的具体内容而言,其直接表现形式即可说是“问题解决”。但是,如果从更深的层次去分析,我们则又应当明确强调“模式”的概念在数学中的核心地位。这就是说,在数学中,我们是通过相对独立的量化模式的建构,并以此为直接对象从事客观世界量性规律的研究——从而,在这样的意义上,我也可以说,数学即是“模式的科学”。

另外,数学一向以严谨的演绎思维、慎密的逻辑推理将知识和方法展现给世界。课本中演绎性的表述掩盖了数学知识发生和发展的过程。荷兰著名数学家弗赖登塔尔说:“没有一种数学的思想以它被发现时的那个样子公开发表。一个问题被解决后,相应地发展成为一种形式化的技巧,结果是把求解过程丢在一边,使火热的发明变成冰冷的美丽。”数学知识发生和发展的过程充满着实践和不断的反复,在建立一个成熟的结构和理论之前,实践和归纳起着决定性的作用。数学知识既有演绎的一面,又有实践的一面,数学的实践性决定了数学的应用价值。数学以严谨的逻辑思维为手段的研究方式充分发挥了人的心智的功能,使数学具备了理性价值。

在问题解决过程中,把数学的形式化的逻辑链条恢复为当初数学发明创造的火热思考,展现数学家的思维过程,让学生体会到创造过程活的思维,认识到数学正是在猜想、证明、错误中发展进化的,数学的进步对传统观念的革新,从而激发学生的非常规思维,使他们感受到抓住恰当的、有价值的问题将是激动人心的事情,而问题解决的过程正是上班述过程的缩影或延续,使学生全面理解、正确认识数学。

三、“问题解决”背景下的数学课堂教学

一种普遍认同的观点,在数学教学中,学生处于主体地位,教师发挥主导作用。问题是如何理解学生的“主体地位”、教师在教学中如何发挥“主导作用”?

传统的教学是这样的:先由教师给出问题,学生则被要求去求出解答。学生在从事解题活动时,可以作出如下假设:这一问题具有唯一的、确定的解答,而且这一解答可以用新学过的算法去求得。他们并认定教师将按照他们在表面是否努力工作及在表面上是否成功对他们作出评价。他们还可以认定教师早已知道了答案,而自己则可以通过提问由教师处获得关于解答的提示;他们可由教师的表情和态度等知道自己是否正沿着正确的道路前进。

与此相对照,美国数学家舍弗尔德给出“解决问题”背景下数学教学的描述是这样的。教学主要由“全班性的讨论”和“分组工作”组成,教师在此则主要是从启发法和“调节”的高度进行指导的帮助。

具体地说,当全班一起进行工作时,教师的作用就如一个乐队指挥,即是如何对学生的建议进行协调,而并非是要把学生引向某个事先确定的解法。对于那些学生已经具备了足够的数学背景的问题,教师的责任主要就在“调节的方面作出示范。”通过启发引导,使学生认识到:在冒然地投入到解题活动之前,应当首先,弄清题意。另外,在学生关于解题的最初建议确定可行的情况下,教师也应要求学生提出更多的可能的解法。如有三四种不同的建议,这时教师就可以组织学生对应作怎样的选择和为什么作这样的选择进行讨论,并建议学生思考“现在看来这条路是否行得通?我们是否应当试一试其它的途径?”最后,一旦取得了结果,全班则又应当进行进一步的讨论:先是对所已进行的工作进行总结,并指明可以改进的地方;另外,如果在此是采用某一建议而获得成功,全班则又应当考虑其它建议能否提供不同的解法。另外,在采取“分组工作”的形式时,教师的作用就像是一个“解题教练”。具体地说,在此所涉及的既有启发法方面的问题,也有“调节”方面的问题。就前者而言,应当注意的是,如果学生有足够的理由去作某件事,那么无论这是否与启发性原则相一致,都应让他们按自己的选择去作业;而如果缺乏这种充足的理由,教师则可应用启发法去帮助他们进行选择。另外,与启发法相比,“调节”方面的问题应当说是更为复杂的,因为学生的调节行为常常是不明显的、并且没有能够得到足够的重视。这时,教师应当经常向学生提出以下三个问题:你现在在干什么?你为什么要这样做?它事实上起到了什么样的作用?通常在开始时,学生并不能对这些问题做出明确的解答,然而通过一段时间的坚持,学生即能逐步回答这些问题,直到最后逐渐形成向自己提出这些问题的好习惯。

[1]张奠宙,戴再平.中学数学问题集.上海:华东师范大学出版社.

[2]刘云章,马复.数学直觉与发现.江苏教育出版社.

[3]郑毓信.问题解决与数学教育.江苏教育出版社.