两两NQD随机变量列所产生线性过程的完全收敛性

佟 欣，赵冬霞

(大庆师范学院 数学学院，黑龙江 大庆 163712)

0 引言

定义1：称r.v.X和Y是NQD(NegativelyQuadrantDependent)的，若对∀x、y∈R有

P(X

称r.v.列{xn,n≥1}是两两NQP的，若对∀i≠j，Xi与Yj是NQD的。随机变量X与Y是NQD的，当且仅当对于任何单调递增函数f，g均有Cov(f(X),g(Y))<0.

最早对完全收敛性的研究是从独立同分布的实随机变量开始的。由上述定义容易看出两两NQD列是包含两两独立列在内的非常广泛的随机变量列，后来的许多负关联列都是在此基础上衍生出来的。因此，对两两NQD列的研究就显得更为基本，而目前对两两NQD列的研究还不够完善。张立新[1]研究了两两NQD列部分和最大值的一般形式完全收敛的充要条件。本文假设{xn,n≥1}是同分布的随机变量，C为正常数，在不同地方可以表示不同的值。本文研究了更为广泛的一类随机变量列，设{xn,n≥1}满足：

(A)存在常数C，对任何一列单调函数{fi;i≥1}，若Varfi(X1)<∞，对任意的i成立，则有

于是可以看出满足条件(A)的随机变量列是包含两两NQD列的一类更为广泛的随机变量列。

满足(A)的移动平均过程完全收敛性定理如下：

1 几条引理

1)Φ是有界的，并且Φ在a点连续；

2)存在δ>0及C>0，使得对所有|x|≤δ，都有|Φ(x)|≤|x|，则

注：特别取Φ(x)=|x|p，P≥1，由上式可得

引理2[3](缓变函数的性质)：当h(x)>0为x→∞时的缓变函数，则

2 定理的证明

对{ai；-∞

只需证明

(1)

(2)

先来考察(1)式成立((2)式证明与(1)式类似)

易见，对∀ε>0，有An⊂Bn∪Cn，由此只须证明

(3)

(4)

(5)

aniZi为单调非降函数，而{Yi;i≥1}满足条件(A)，故有

(6)

(7)

综合(5)、(6)、(7)式再由引理1，有(1)式

=C(I1+I2)

由引理1，再利用缓变函数的性质，于是

当10，利用引理2有

(8)

由文献[4]，对于∀≥1，a>0，有

(9)

利用(8)(9)两式及缓变函数性质和引理可得

选取δ>0，类似可证得：I4<∞

与I1<∞的方法类似，可证得(3)式成立，于是定理得证。

[参考文献]

[1] 张立新,王江峰.两两NQD列的完全收敛性的一个注记[J].高校应用数学学报:A辑,2004,19(2)：203-208．

[2] Burton R M , Dehling H. Large deviations for some weakly dependent random processes[J]. Statist Probab lett, 1990, 9(9): 397-401.

[4] Yu De-ming,Wang Zhi-jiang.Complete of Moving Average Processes under Negative Dependence Assumptions[J]. Mathematical Applicata, 2002, 15(1): 30-40.

[5] 汪嘉冈.现代概率基础[M].上海:复旦大学出版社,1986．