用于指导交流电桥实验调零的矢量数学模型

张瑞斌,秦 颖,李敬安,黄晓明,赖 优

(大连理工大学物理与光电工程学院,辽宁大连116024)

用于指导交流电桥实验调零的矢量数学模型

张瑞斌,秦 颖,李敬安,黄晓明,赖 优

(大连理工大学物理与光电工程学院,辽宁大连116024)

建立交流电桥的矢量分析模型,用图示法讨论交流电桥实验,从理论上以更加直观明了的方式指导调零步骤、进行实验分析以及计算机模拟.

交流电桥;图示法;调零

1 引 言

交流电桥电路如图1所示,电桥达到平衡时,毫伏表示数为零,上下桥臂电位差为零,电桥相对桥臂的复阻抗乘积相等.平衡方程为[1-2]

图1 交流电桥原理图

由(1)式可知,交流电桥与直流电桥的原理十分相近,但是交流电桥讨论的是复阻抗(具有实部和虚部),通常的解决方法是将(1)式分解为分别关于实部和虚部的2个线性方程,这种数学模型很好地体现了交流电桥的本质特征,易于理解.但无法直观再现交流电桥的平衡过程,难以讨论和比较各种设计方案.另外,这种传统的数学模型很难翻译成计算机语言,难以数值模拟.

鉴于此,最好的解决办法是提出新的数学模型.分析平衡方程(1)式,发现交流电桥与直流电桥的区别就是将电阻(标量)扩展为复阻抗(二维矢量).于是尝试建立交流电桥的矢量分析模型,也就是用图示法讨论交流电桥实验.

2 实验选择标准及优劣判据

电桥实验设计的优劣判据如下:

1)尽量调节电阻.由于制作工艺上的差异,电容和电感在调节精度和稳定性上都远远小于电阻;另一方面,可变电容、电感的最小刻度也无法达到足够的精度.因而为了提高精度,尽量选用可变电阻以及定值电容和电感.

2)尽量提高调节的速度和测量的精度.

3 运用图示法讨论交流电桥的成功案例

3.1 案例1:调节标准电阻R0和电感L0

先用最简单的电桥配制方法来阐述图示法的基本原理.

电路如图2所示,用j代表虚数单位,则电桥平衡方程可写成(2)式:其中,R1和R2是比率臂的2个可调电阻,L0为已知电感值,Lx和rx分别为待测电感值和内阻, ω为交流电的圆频率.此处r0=R0+rL0,其中R0为外加可调电阻,rL0为已知电感的内阻.

图2 调节标准电阻和电感

在实际问题中可以对(2)式做如下变形:

式中,M=R2/R1,在此选为定值(经验表明,M取0.5～2比较合适).

设矢量OAi代表M(rx+jωLx),OBi代表(r0+jωL0),其中i=1,2….初始时刻状态所对应的矢量为OA1,OB1,经过调节后OB1与OA1重合.根据交流电桥的平衡方程可以证明(证明略):OAi与OBi差值|AiBi|越小,越接近平衡状态,当两矢量差值为零时,毫伏表的示数为零,此时交流电桥达到平衡状态[1].

利用(3)式设计如下步骤进行调节,矢量变化如图3所示.

图3 对应图2的矢量变化轨迹

1)先调节R0值,就是调节向量OBi的实部,将复阻抗(r0+jωL0)的端点B在直线B1B2上滑移,直到毫伏表示数最小,如图中矢量OB2的状态,此时B1B2⊥A1B2,差值最小.

2)再调节L0值,对应于B2沿竖直直线滑移到A1,此时OA1=OB2,毫伏表示数为零,达到了平衡状态.

3)加大电源电压,重复实验,直到所需精度.

上述调零方式十分简便,物理过程显得十分清晰.这种调零方式是实验室里最常见的方法.但是该方法调节了电感L0,明显违背了上文“尽量调节可变电阻”的约定,需要改进.

3.2 案例2:调节标准电阻R0及倍率M(R2)

分析图2,发现一共有4个可调量:R1,R2, R0,L0.首先排除L0(不调电感).根据(3)式可知,调节R1,R2改变倍率M(M=R2/R1),为了简单只需调节其中的一个,在此选调R2.因而确定R2和R0作为可调量,电路如图4所示.仍采用(3)式,在此M不再是定值,调节R2则M变化.

图4 调节标准电阻R2和R0

用图示法表示,改变M的值,会使矢量OAi在直线OA上线性地伸缩,调节R0的值,会使矢量OBi端点Bi在直线B1Bi上滑移[1-3].

如图5所示,调节步骤如下:

1)调节R0使毫伏表示数最小;

2)继而调节M(M随R2线性变化),直到毫伏表示数最小;

3)重复步骤1)和步骤2),循环调节直到所需精度.

图5 对应图4的矢量变化轨迹

很明显,通过上述调节步骤,OBi与OAi趋于重合,达到电桥平衡.

以上讨论中,显示了图示法的优越性,将繁杂的交流电桥调节步骤用矢量图简易地表达出来,调节步骤清晰,提高了实验效率.

3.3 案例3:调节被测端标准电阻Rx0及倍率(R2)

在以上2个案例的启发下找到了更加快速准确的调节方法.设计电路如图6所示,图中Lx和rx分别为待测电感和内阻,在待测电感桥臂上串联可调电阻Rx0,为便于描述,设Rx=rx+Rx0.

平衡方程为

图6 可调标准电阻接入被测端

变形后为

其中M=R2/R1.

设OAi表示矢量M(Rx+jωLx)和OB表示矢量(r0+jωL0);初始时刻的状态对应于OA1和OB,经过步骤1),2)后对应于OA2,OB,以此类推.

根据上述分析,可得到调零过程如下:

1)调节Rx,使毫伏表示数最小,对应于A1水平滑移到A2,此时BA2与实轴垂直;

2)调节R2,使毫伏表示数最小,对应于A2沿直线OA2滑移到A3,此时OA3⊥BA3;

3)重复上述过程,直到所需精度要求.

矢量变化轨迹如图7所示.从图中很容易看出,OAi以更快的速度收敛于OB,此种调零方式比案例2更快地达到平衡.

图7 对应图6的矢量变化轨迹

从案例2和3可以看出,图示法挖掘出了交流电桥调零过程中的迭代关系(不断地寻找垂线).根据垂直矢量点乘积为零,可以写出对应的迭代算式.采用数值模拟的方法,定量地比较例2和3两种方法的优劣,结果见表1.为了编程方便,已把电阻和电感无量纲化.设案例2和3中初始状态相同,均为A=(2,1),B=(1,6)

表1 向量A和B差量的模

模拟数据证明案例3所选方法明显优于案例2,尤其是在精度要求高的情况下,案例3收敛速度快的优点尤为明显.

比较案例2和3.如果用原来的数学模型来比较上述2种方法优劣非常困难,而图示法却一目了然.主要原因就在于图示法挖掘实验数据的数学本质(矢量和复数),并运用相应的数学工具建立了恰当的数学模型,能很好地解决有关问题.

3.4 案例4:调节与被测端并联的标准电阻Rx0及倍率(R2)

下面把图示法的应用推广到元件并联,设计电路图如图8所示.

图8 可调标准电阻与被测端并联

首先把电桥平衡方程(1)改写为

在本电路中,平衡方程的具体形式为

式中,R1和R2为上桥臂2个已知的电阻,Lx和rx为待测的电感和其内阻,L0和rL0为已知的标准电感和其内阻.

设M=R2/R1,则,有2个可调量:依次调节M和 Rx0就可以逼近平衡状态.

设OAi代表矢量OBi代表矢量

如图9所示,初始时刻的状态对应于OA1和OB1,经过以下步骤1)和2)后对应于OA2和OB2,以此类推.

图9 对应图8的矢量变化轨迹

具体调节方法如下:

1)调节Rx0使毫伏表示数最小,对应于矢量OA1沿水平直线滑移到OA2,此时A2B1与实轴垂直;

2)调节R2使毫伏表示数最小,对应于OB1沿直线OB1滑移到OB2,此时A2B2⊥OB1;

3)重复步骤1)和2),直到所需精度.

上述调零过程与案例3相似,也可以很快的速度趋于平衡.这种方法最大特点是加入了并联微调电阻.之所以称其为微调电阻,是因为Rx0常取一个极大的阻值,导致1/Rx0变化极其缓慢(双曲线的性质),从而可以实现及其细微的变化.这一点在高精度调节中是很有必要的.另外并联元件在一定程度上还可以增大系统的抗干扰能力[4-5].

本例再一次说明了图示法的巨大优势.由于元件并联公式较为复杂,用原来解析的方法来研究,复杂度将大大提高,而对于图示法而言,经过复阻抗取倒数的变换,调零过程依然简洁明了.

本文选择了若干含电感的交流电桥讨论图示法的优点,其方法同样适用于含电容的交流电桥.

[1] 董有尔.大学物理实验[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2006:125-130.

[2] 王爱中.利用直流电桥测量电容[J].物理实验, 2008,28(4):34-35.

[3] 杨振萍,潘学军.交流电桥臂的配置与灵敏度[J].四川师范大学学报,1999,22(3):214-218.

[4] 夏宝顺.交流电桥有关实验现象分析[J].物理实验,2001,21(04):43-44.

[5] 孙伏优.“电感电容对交变电流的影响”演示实验的改进[J].物理实验,2008,28(2):21-22.

Vector mathematical model for guiding adjustment of AC bridge circuits

ZHANG Rui-bin,QIN Ying,LI Jing-an,HUANG Xiao-ming,LAI You
(School of Physics and Optoelectronic Technology,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China)

A vector mathematical model of AC bridge is set up,and the experiment of AC bridge is discussed by the graphic method.The adjustment procedures,experimental analysis and computer simulation are put forward.

AC bridge;graphic method;zero adjustment

O441.1

A

1005-4642(2010)06-0042-04

[责任编辑:郭 伟]

2009-09-12;修改日期:2009-12-26

2008年大连理工大学大学生创新性实验计划项目

张瑞斌(1990-),男,山东济宁人,大连理工大学物理与光电工程学院2007级本科生.

指导教师:秦 颖(1964-),女,吉林白山人,大连理工大学物理与光电工程学院副教授,博士,从事物理实验教学与凝聚态物理研究.