一个(3+1)维孤子方程的周期解＊

吴勇旗

(湛江师范学院数学与计算科学学院,湛江 524048)

一个(3+1)维孤子方程的周期解＊

吴勇旗†

(湛江师范学院数学与计算科学学院,湛江 524048)

(2009年3月6日收到;2009年4月14日收到修改稿)

利用Hirota方法及Riemann theta函数得到了一个(3+1)维孤子方程的周期解.在极限情况下,该周期解退化为孤子解.另外,利用计算机技术和Mathematica绘制了解的三维曲面图.

Hirota方法,Riemann theta函数,(3+1)维孤子方程,周期解

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1.引言

过去几十年,人们一直在努力探索非线性发展方程特别是孤子方程的求解方法,目前已经有了几种有效的方法,如著名的反散射方法、Bäcklund变换法、穿衣服方法、Painlevé展开法等等.最近,Lax对的非线性化方法[1—3]、齐次平衡法[4—7]、双曲函数法[8—13]、Jacobi椭圆函数展开法[14]等也都被用来求非线性发展方程的各种显式解.然而,寻找新形式的显式解仍然是一件很有意义的工作.本文利用Hirota方法及Riemann theta函数[15—20]得到了一个(3 +1)维孤子方程的新的周期解.在极限情况下,该周期解退化为孤子解.另外,利用计算机技术和Mathematica绘制了解的三维曲面图.

2.(3+1)维孤子方程与周期解

该方程与Ablowitz-Kaup-Newell-Segur(AK NS)谱问题密切相关,许多学者对此方程都做了大量的研究[21—23].文献[21]通过AK NS方程组得到了该方程,它与一个(2+1)维破碎孤子方程[20,21]、一个具有三个位势的耦合Kadometsev-Petviashvili(KP)方程有紧密的联系(见文献[21]及其参考文献).文献[21]的作者通过拉克斯对(Lax Pair)的非线性化方法并引入Abel-Jacobi坐标证明了方程(1)的Liouville完全可积性并得到了它的代数几何解;文献[22]利用Hirota方法及形式摄动得到了它的Wronskian形式解和N孤子解;文献[23]通过双线性Bäcklund变换得到了它的多种孤子解和驻态有理解.本文则利用Hirota方法及Riemann theta函数得到了它的周期解.

2.1.Hirota双线性算子的定义

由于这里涉及四个变量,我们定义Hirota双线性算子为

其中,l,m,n,r都是非负整数,Hirota双线性算子有许多重要的性质,这里用到的有

或者,更一般地,当F为一多项式函数时,有

它们可以直接从定义出发得到.利用Hirota方法的关键是找相关变量变换,对于(3+1)维孤子方程(1)来说,我们取

本文研究一个(3+1)维孤子方程

将(5)式代入(1)式并对x积分两次,得到

其中c为积分常数(c=c1(y,z,t)x+c2(y,z,t)),一般可以取为零,但是下面我们可以看到这里不可以取零.经过直接计算,有

将(7)—(10)式代入(6)式并利用(11)—(14)式,便得到(3+1)维孤子方程(1)的双线性形式为

2.2.方程(1)的单周期解

为求得单周期波解,我们取一维Riemann theta函数[24]

其中,α,β,γ表示波数,ω表示频率,η0是相常数,τ是一虚部大于零的复常数.把(16)式代入(15)式并利用(4)式,有

这里引入了求和指标m=n+n′,而~F(m)是

利用n=n′+1,(18)式变为

从(19)式我们可以看到,如果~F(0)和~F(1)都是零,那么所有的~F(m)均为零.另一方面,我们知道,即使其他的参数都知道,积分常数c和频率ω却是不知道的.因此,利用~F(0)=0和~F(1)=0解出积分常数c和非线性色散关系ω我们就可以得到方程(15)的精确周期解.~F(0)=0和~F(1)=0可以分别写为

通过引入

方程(20)和(21)可以写为

解此方程组得到

因此,表达式(5)加上(16)和(30)式就是我们得到的(3+1)维孤子方程(1)的单周期波解(见图1).

图1

值得注意的是,在极限情况下,可以由周期解得到孤子解,为此我们引入

则(22)—(27)式及(30)式,(31)式可以分别表示为

取极限q→0(或者lmτ→∞)有

引入记号

则在极限q→0(或者lmτ→∞)下,有

这是用双线性变量表示的(3+1)维孤子方程(1)的解,通过(5)式,它可以转化为孤子解

2.3.方程(1)的双周期解

为求得双周期波解,我们取N维Riemann theta函数

其中,αj,βj,γj,ωj和η0j的意义同一维情形相仿, τjk(j≠k)表示波之间的相互作用.并假设复矩阵τ =(τjk)N×N对称且具有正定的虚部.把(44)式代入(15)式并利用(4)式,我们得到与(17)式相应的结果:

其中

把第h个求和指标nh平移一个单位,我们得到与(19)式相对应的关系:

如果关系式

对所有的m1=0,1,m2=0,1,…,mN=0,1成立,那么(44)式便给出了(3+1)维孤子方程(1)的N周期波解.注意到(48)式共有2N个方程,而包含在问题中的未知量的个数包括积分常数c,非线性频率ωj(j=1,…,N)和相互干扰项τjk(1≤j,k≤N,jN=1,2,方程个数与未知量个数相等,此乃意味着方程(1)总存在单周期波和双周期波解.

下面就N=2时求(1)式的双周期波解.由(47)和(48)式有

此方程组(49)确定了ω1,ω2,c和τ12.表达式(5), (44)(N=2)和(49)就是(3+1)维孤子方程(1)的双周期波解.同样值得注意的是,在极限情况下,也可以由周期解得到双孤子解,为此我们引入记号

则当lmτ11→∞,lmτ22→∞时,有

图2 用Mathematica绘出的(53)式的图像

3.结论

本文使用的方法具有某种普遍性,利用它不仅可以得到(3+1)维孤子方程的周期解,而且也可以得到其他非线性发展方程的周期解.在极限情况下,它们可以退化为孤子解.

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PACC:0340K,0290

The periodic wave solution for a(3+1)-dimensional soliton equation＊

Wu Y ong-Qi†

(Mathematics and Computational Science School,Zhanjiang Normal University,Zhanjiang 524048,China)

6 March 2009;revised manuscript

14 April 2009)

A new periodic wave solution for a(3+1)-dimensional soliton equation is found by using the Hirota method and Riemann theat function,from which the soliton solution can be obtained in an appropriate limiting procedure.In addition,the special three-dimensional surface graph of this equation is simulated with the help of Mathematica.

Hirota method,Riemann theta function,(3+1)-dimensional soliton equation,periodic solution

＊湛江师范学院科研基金(批准号:L0803)资助的课题.

†E-mail:yqwuedu@sina.com

＊Project supported by the Science Research Foundation of Zhanjiang Normal University(Grant No.L0803).

†E-mail:yqwuedu@sina.com