蚁群算法在梯形明渠临界水深计算中的应用

□ 刘思韬 王慧斌

一、引言

临界水深是判别明渠流态的一个重要指标，也是明渠水力学中基本水力要素之一。不同形式的过水断面，其临界水深的计算方法有所不同。在工程中，梯形断面临界水深hk的计算最常采用的计算方程是一元六次方程，通常采用试算法、图解法、近似公式法和迭代法计算，这些方法均具有计算量大、精度不高等缺点。因此，本文采用蚁群算法对梯形明渠临界水深进行计算。

二、蚁群算法简介

在优化领域，蚁群算法作为一类仿生计算方法正在迅速发展。蚁群算法由Dorigo等人提出，它具有开放性、鲁棒性、并行性、全局收敛性等特点，适合求解诸如旅行商问题（Travelling Salesm an Problem,TSP）、车间调度、交通路由、资源分配、图着色、大规模集成电路设计、通讯网络中的路由问题以及负载平衡等问题。

由于梯形明渠临界水深的计算属于一维连续函数优化问题，因此，本文仅对一维连续函数优化的蚁群算法进行介绍。设一维连续函数优化的问题为：

其中f（x）：R→R为已知的一维函数，[x0，xf]为实轴上的已知解空间。

为实现蚁群算法的群体搜索过程，构造如下的转移概率准则：设m只人工蚂蚁，刚开始随机位于解空间[x0，xf]的n个等分区域的某些位置处，各个区域间蚂蚁的状态转移概率定义为：

其中，τj为区域j的吸引强度；期望值ηij(启发信息)定义为ηij=fjmax-fimax；参数α、β均为定值，其中α为吸引强度启发式因子，β为期望值启发式因子。区域j吸引强度的更新方程为：

于是函数f(x)的寻优问题就借助于m只蚂蚁在x∈[x0,xf]的n个等分区域间的不断地移动，以及一些区域内的局部随机搜索来进行，处在区域i中的蚂蚁k的转移及其搜索规则为：

否则，在第i区域内进行随机搜索

可见，每只蚂蚁要么以上述规则从当前区域转移到其它区域中作局部随机搜索，要么在当前区域内进行局部随机搜索。一旦蚂蚁的群体数目足够大，上述的寻优方式就相当于一群蚂蚁对定义域[x0,xf]中的函数f(x)进行有穷尽的且在先验知识引导下的随机搜索，并最终收敛到问题的全局最优解。

三、梯形明渠临界水深的计算

临界水深计算的基本公式为：

式（6）中，α为动能修正系数；Q为过水流量；g为重力加速度；Ak为相应临界水深的过水断面；Bk为相应于临界水深时的水面宽度。

式（7）中，hk为临界水深；b为梯形断面底宽；单宽流量q=Q/b；m1,m2分别为梯形断面两侧的边坡系数。

求解梯形明渠临界水深hk等价于求解下面非线性优化问题：

式(8)中，f(hk)优化目标函数；hk为优化变量；hR为与梯形断面底宽相同的矩形断面明渠的临界水深。

为考察蚁群算法在梯形断面明渠临界水深计算问题上的优化性能，在此选取参考文献[4]中的例1为算例（以便与其比较）：已知梯形明渠底宽b=10 m，梯形断面两侧的边坡系数m1=m2=1，动能修正系数α=1，重力加速度g=9.81 m2/s，求解临界水深hk。将蚁群算法的优化结果与相振国等的近似公式法、金菊良等的加速遗传算法（AGA）在该算例上的求解结果进行比较，判断蚁群算法优化梯形断面明渠临界水深的性能。

在本文的蚁群算法中，有关算法参数的取值为：蚂蚁在搜索中释放的信息素密度Q=0.5，吸引强度持久性系数ρ=0.8，吸引强度启发式因子α=1，期望值启发式因子β=1，解空间分区数n=30，参与搜索的蚂蚁数为m=40，求解结果见表1。

表1 采用不同方法计算梯形明渠临界水深的结果比较

由表1可见，本文所选用的蚁群算法在求解梯形明渠临界水深问题时，与加速遗传算法（AGA）和近似公式法相比，可以得到全局最优解，并且蚁群算法适应性强，且易于形成通用的计算机程序，算法稳定，收敛速度快，因此总体效果优于加速遗传算法和近似公式法。

四、结论

由本文的算例可知，蚁群算法是一种收敛速度快、算法稳健、计算过程简单、易于形成通用的计算机程序的非线性全局优化方法。在求解梯形明渠临界水深问题时，其优化效果明显的优于传统的近似公式法和加速遗传算法，因此，可以将蚁群算法引用到水利工程中的梯形明渠临界水深的计算中。除此之外，蚁群算法还可用于水利工程中的许多优化问题，如天然河道水面线的推求、溢流坝收缩断面水深的计算等。蚁群算法将为水利工程的优化问题提供一种新的有效的优化方法。■