一类修正Navier-Stokes方程解衰减速率的上下界估计

吴珞

一类修正Navier-Stokes方程解衰减速率的上下界估计

吴珞

（上海第二工业大学理学院，上海 201209）

Navier-Stokes方程描述了具有小速度梯度的不可压缩粘性流体运动规律，在流体动力学研究中有着重要的应用。1966年，Ladyzhenskaya O. A. 放弃了速度梯度很小的限制，提出了几种描述不可压缩粘性流体运动规律的修正Navier-Stokes方程。为估计整个三维空间上一类修正Navier-Stokes方程解衰减速率的上下界，使用改进的Fourier分解方法得到当初值模衰减速率上界为；对某些初值时，解的模衰减速率下界为(t+1)−34。

修正Navier-Stokes；大时间行为；衰减率；上界；下界

0 引言

文献[1]和[2]独立研究了不可压缩粘性流体运动规律，提出了描述速度梯度较小的流体运动规律的经典Navier-Stokes方程。1966年，文献[3]和[4]放弃了流体速度梯度较小的限制，给出了几种修正Navier-Stokes方程，其中之一形式如下

的修正Navier-Stokes方程问题。当初值满足一定条件，n≤3时，该问题存在整体唯一解[5-8]。

文献[9]首先提出了经典Navier-Stokes方程解的衰减估计问题。文献[10]讨论了小初值解的衰减估计问题。1985年和1986年，文献[11-13]利用Fourier分解方法给出整个空间经典Navier-Stokes方程解的衰减估计，证明当初始值u∈L2∩Lq(1≤q ＜2)时，解的L2模，并且给出了解的衰减下界估计。1991年，文献[14]讨论了带权空间上解的衰减下界估计。之后，有一系列这方面的研究成果出现，例如文献[15-23]。

有关修正Navier-Stokes方程解的衰减估计问题研究不多。文献[24,25]使用Fourier分解方法研究了文献[3]和[4]提出的另一类修正Navier-Stokes方程解的衰减估计问题，其方程为

其中∇u(τ)为∇u(τ)的L2模。本文将使用Fourier分解方法研究三维空间上一类修正Navier-Stokes方程(1)～(4)解的衰减估计，将证明当初值（1≤p＜2）时，问题(1)～(4)解的L2模，对某些初值。

本文的第1节将回顾记号、定义和结论。在第2节，我们将讨论修正Navier-Stokes方程问题解的衰减上界。在第3节，我们将给出解的衰减下界估计。

在本文中，我们假设n=3且f=0。为了书写方便，取μ0=1，μ1=1。

1 记号、定义和结论

2 解的衰减上界估计

为证明上述定理，我们给出以下两个引理：

引理2.2[12]设，1≤p＜2，r( t)＞0，则

引理2.3设u是问题(1)～(4)的解，则

证明在(1)两边做Fourier变换得到

证毕。

证明定理2.1由(1)和(2)知

3 解的衰减下界估计

为了估计修正Navier-Stokes方程问题(1)～(4)解的衰减下界，我们记w=u−v=u−，则

证明证明与引理2.3相似。

成立。

证明定理3.1由(18)，使用(5)和(6)知

与证明(15)相似，我们可证：对任取r( t)＞0，

为估计(20)，我们回顾文献[13]中的一个不等式

在(20)中应用引理3.2，定理3.1，(7)和(21)，我们可推出

4 结论

当外力f=0时，三维空间上一类修正Navier-Stokes方程解衰减速率有上下界。当初值(1≤p＜2)时，解的L2模的衰减速率上界为；对某些初值)时，解的L2模的衰减速率下界为。当外力随时间无限增大时有一定衰减速率，应用本文方法易知修正Navier-Stokes方程解有相同的上下界。

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Upper and Lower Bounds of Decay Rates for a Solution of a Modified Navier-Stokes Equations

WULuo
（School of Science,Shanghai Second Polytechnic University,Shanghai 201209,P.R.China）

The Navier-Stokes equations have many important application in fluid dynamic,which describe motion characteristics of viscous incompressible fluids for small gradients of the velocities．In 1966,Ladyzhenskaya O．A．suggested several variants of modified Navier-Stokes equations to a determinate description of the nonstationary flows of viscous incompressible fluids for large gradients of the velocities．Forestimating upper and lower bounds of decay rates for a modified Navier-Stokes equations in the whole three-dimensional space,by improving the Fourier splitting methods，the paper proves that upper bounds of decay rates of L2norm to the solution arefor initial value(1≤p＜2) and lower bounds of ones arefor some initial value

modified Navier-Stokes equations；large time behavior；decay rate；upper bounds；lower bounds

O175.2

A

1001-4543(2010)03-0173-05

2010-06-03;

2010-06-29

吴珞(1963—)，男，辽宁辽阳人，教授，博士，主要研究领域为应用数学，电子邮件：wuluo@sspu.cn

上海市自然科学基金(No.09ZR1412800)；上海市教育委员会科研创新项目基金(No.10ZZ131)