调和拟共形映照双曲雅可比的偏差性质

陈行堤

（华侨大学数学科学学院，福建 泉州 362021）

调和拟共形映照双曲雅可比的偏差性质

陈行堤

（华侨大学数学科学学院，福建 泉州 362021）

研究两类调和拟共形映照双曲雅可比和双曲面积的偏差性质，给出上半平面到自身上的欧氏调和拟共形映照双曲雅可比的精确界限，以及达到极值的函数.研究双曲调和拟共形映照双曲雅可比的偏差估计，并应用于两类调和拟共形映照双曲面积的偏差估计.结果表明，这两类调和拟共形照是非爆破的.

调和映照；拟共形映照；双曲雅可比；双曲面积

1 基本概念

一个上半平面H到自身上的C2同胚映照f，被称为ρ-调和映照.若它满足Euler-Lagrange方程，即

式（1）中：ρ是一个H上的C2正值函数；w=f（z）.一个H到自身上的保向同胚映照f，被称为K-拟共形映照.它满足：（1）f在H上是ACL的；（2）对几乎所有的z∈H，满足Beltrami方程.即

一个局部单叶解析函数的欧氏雅可比总是正的［1］.Lewy［2］证明了对于一个局部单叶的保向欧氏调和映照.这个结论是正确的，但对一个拟共形映照就未必成立.如取f=z|z|4，则f是单位圆盘到自身上的拟共形映照，其欧氏雅可比在0点处为零.Partyka等［3］研究了在欧氏度量意义下，欧氏调和K-拟共形映照能量密度的偏差性质，结果隐含着如下定理.

定理1给定K≥1，如果f是单位圆盘D到自身上的欧氏调和K-拟共形映照，且满足f（0）=0，那么有

其中：LK关于K≥1是严格递减函数，且满足

研究了上半平面到自身上的欧氏调和K-拟共形映照类，证明了其双曲雅可比的精确的上界和下界分别为K和1/K；证明上半平面到自身上的双曲调和K-拟共形映照类；证明其双曲雅可比的上界和下界估计分别为（K+1）2/4，4K/（K+1）2.容易看出，当K＞1时，有（K+1）2/4K＜K，4K/（K+1）2＞1/K.

在欧氏度量意义下，Astala［4］和Chen等［5］给出了拟共形映照的面积偏差的精确估计.在双曲度量意义下，Kelingos［6］首先研究了有界可测子集的情形.Porter等［7］构造例子，用于说明存在拟共形映照，使得双曲面积有限的可测子集在其映照下的像具有无限的双曲面积.因此，对一般可测子集的双曲面积的研究，由于存在爆破现象而比较复杂.目前，对非爆破的拟共形映照类的已有相关的研究结果［7-10］.

2 主要结果及其证明

记上半平面H的双曲度量为λH（z）|dz|2，则在Gauss曲率标准化为-1的条件下，有

为了方便，记AK（z）=（c/K）x+icy+b，BK（z）=c Kx+icy+b.其中：b，c是两个实常数，且c＞0.

引理1［11］如果f=u+iv为一个上半平面H到自身上的欧氏调和拟共形映照，并且满足标准化条件f（∞）=∞.那么，v=cy，c是一个正常数.

利用上述的引理1，有

定理2 如果f是一个上半平面H到自身上的欧氏调和K-拟共形映照，那么，不等式

对每个z∈H成立.当且仅当f=AK°L，左边等号成立；当且仅当f=BK°L，右边等号成立.这里，L是一个H到自身上满足L-1（∞）=f-1（∞）的共形映照.

证明 假设f（z）=u（x，y）+iv（x，y）是一个上半平面H到自身上的欧氏调和K-拟共形映照，且满足标准化条件f（∞）=-∞，z=x+iy.由引理1可知，存在一个正常数c，使得f（z）=u（x，y）+icy，从而有

因为f是K-拟共形的，所以由式（5），（6）可得

经整理，可得

它隐含着

根据式（3）和Imf=cy，有

由式（7），（8），（9）可得

假设左边不等式的等号成立，则有ux=c/K.因此，存在着一个函数φ（y），满足u（x，y）=（c/K）x+φ（y）.由于f是H上的欧氏调和映照，可知

在H上是解析的.因此，φ′（y）是一个实常数，记其为d.由式（5），（6）有

上面等式只有在d=0的情形下成立，从而φ（y）是一个实常数，记为b.当f满足标准化条件f（∞）=∞时，不等式（4）的左边等号当且仅当f=AK时成立.同理可证明，当f满足标准化条件f（∞）=∞时，不等式（4）的右边等号当且仅当f=BK时成立.

如果f（∞）≠∞，则存在实轴上的一点a，满足f（a）=∞，让L为一个H到自身上满足L（a）=∞的共形映照.

令g=f°L-1，则g是一个H到自身上的欧氏调和K-拟共形映照且满足标准化条件g（∞）=∞.从而有

1/K≤（λH（w）/λH（ζ））Jg≤K.

上式中：w=f（z）；ζ=L（z）.由于L是一个H到自身上的共形映照，所以有

λH（L（z））|L′（z）|2=λH（z）.

根据Jg=Lf°L-1|（L-1）′（ζ）|2，有

因此，有

左边的等号当且仅当f=AK°L成立，而右边的等号当且仅当f=BK°L成立.定理2证毕.

推论1 若f是一个上半平面H到自身上的欧氏调和K-拟共形映照，且满足f（∞）=∞和f（i）=i，那么有

对每个z∈H成立.左边等号成立当且仅当f=（1/K）x+iy，而右边等号成立当且仅当f=Kx+iy.

下面考虑双曲调和K-拟共形映照的双曲雅可比的偏差估计.即

引理2［12］如果σ＞0是一个上半平面H上的C2度量密度函数，且其Gauss曲率满足Kσ≤-1，则σ≤λH.

定理3［13］如果f是一个上半平面H到自身上的双曲调和K-拟共形映照，那么有

对每个z∈H成立.利用引理2和定理2可得

定理4 如果f是一个上半平面H到自身上的双曲调和K-拟共形映照，那么不等式

对每个z∈H成立.

证明 令σ=（1-k2）λH°f|fz|2，k=（K-1）/（K+1）.由定理2可知，对于任意z∈H，都有|fz|≠0；而对于满足|f|≠0的点z∈H，有

因为f是双曲调和的，所以λH°ffzz是一个H上的解析函数.从而有

根据f=-（logλH）w°ffzf，可得

将以上两个等式分别代入关系式（14），（15），则有

因此，当|f|≠0时，将式（13），（16）代入式（12），可得

另外，Δlogσ也可表示为

由式（3）可得，（logλH）zz=-（1/2）λH成立.利用这个等式，可得

又有

Δlog（1-k2）λH°f|fz|2=（ΔlogλH）°f|fz|2；

而式（17）在满足|f|=0的点处，有

因此，对于任意的z∈H，都有Kσ≤-1.

由引理3，有

结合定理3的左边不等式和关系式，由Jf≥（1-k2）|fz|2可知，式（11）的左边不等式对任意的z∈H也成立.

利用双曲调和拟共形映照的共形不变性［5］，定理3对任意的单连通区域结论都成立.Yao［14］改进了定理3的右边不等式为

（λH°f/λH）|fz|2≤（K+1）/2，

而式（20）改进了文［14］的结果.从定理4可看出，H上的双曲调和拟共形映照双曲雅可比的偏差比欧氏调和拟共形映照的要小.

3 主要结果的应用

定理5 如果f是一个上半平面H到自身上的欧氏调和K-拟共形映照，那么，对于任意的可测集合E⊂H，有

而且，其上界和下界的估计是精确的.

证明 设f是一个上半平面H到自身上的欧氏调和K-拟共形映照，则由定理2有

如果f（z）=Kx+iy，z=x+iy，则对任意的可测集合E⊂H，有（λH°f/λH）Jf≡K，从而有

|f（E）|hyp= K|E|hyp，

即式（21）的右边不等式是精确的.类似地，若取f（z）=（1/K）z+iy，则可证明式（21）的左边不等式也是精确的.定理5证毕.

由定理4可得

定理6 如果f是一个上半平面H到自身上的双曲调和K-拟共形映照，那么，对于任意的可测集合E⊂H，有

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Distortion Estimations of the Hyperbolic Jacobians of Harmonic Quasiconformal Mappings

CHEN Xing-di
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

The distortion estimation with respect to the hyperbolic metrics of two classes of harmonic quasiconformal mappings is studied.First，the sharp upper and lower bounds of the hyperbolic Jacobians of Euclidean harmonic quasiconformal mappings from the upper half-plane onto itself and their corresponding extremal functions are given.Secondly，the distortion estimation of hyperbolic Jacobian of hyperbolic quasiconformal mappings are obtained.Finally，the distortion estimation of the above two classes of mappings is applied to study their corresponding distortion theorems about hyperbolic areas.The results show that the above two classes of harmonic quasiconformal mappings are non-explodable.

harmonic mappings；quasiconformal mappings；hyperbolic Jacobians；hyperbolic areas

O 174.55

A

1000-5013（2010）03-0351-05

（责任编辑：陈志贤 英文审校：张金顺，黄心中）

2008-10-03

陈行堤（1976-），男，讲师，主要从事函数论的研究.E-mail：chxtt@hqu.edu.cn.

福建省自然科学基金资助项目（S0650019）；华侨大学高层次人才科研启动项目（08BS107）