几类广义Feynman-Kac半群的强连续性

2010-08-27 08:18陈传钟
关键词:例子连续性师范大学

梁 青,陈传钟

(海南师范大学 数学与统计学院,海南 海口 571158)

几类广义Feynman-Kac半群的强连续性

梁 青,陈传钟*

(海南师范大学 数学与统计学院,海南 海口 571158)

本文研究几类广义Feynman-Kac半群的强连续性问题.利用文[1]和文[2]中的结果,得到了几类由狄氏型产生的强连续和不强连续广义Feynman-Kac半群的例子.

狄氏型;广义Feynman-Kac半群;强连续

1 引言

设E是一个局部紧的完备可分度量空间,B(E)为E上的σ-代数,m为(E,B(E))上的σ-有限测度,(E,D(E))是L2(E,m)上的正则对称狄氏型,(Xt)t≥0是其联系的马氏过程.有关狄氏型理论的概念及符号见文[3-4].设u∈D(E),~u为u的一个拟连续版本,由狄氏型理论知有如下的Fukushima分解:

此半群是由函数u与马氏过程(Xt)t≥0产生的,称为由函数u产生的广义Feynman-Kac半群.

定理1[1-2]()t≥0是 L2(E,m)上的强连续半群当且仅当(Qu,D(E)b)下半有界,其中这里(Qu,D(E)b)下半有界是指存在一个常数α> 0,使得Qu(f,f)+α(f,f)m≥0,∀f∈D(E)b成立.

考虑如下形式的狄氏型(E,D(E)):

这里d x为Lebesgue测度,U是Rd上的开集,(aij)1≤i,j≤d的元素aij为定义在 U上的函数,这里的导数是Schwartz分布意义下的导数.杨晓玲在[9]中假设U={x∈Rd<1,xi>0,1≤ i≤d},aij=0,i≠ j;aii>0,1≤ i≤ d的条件之下,给出了具体的函数例子,并证明由这些函数产生的广义Feynman-Kac半群分别具有强连续和不强连续,这些例子丰富了文[1,2]中内容.本文继续这个问题的研究,去掉(aij)中非对角线上元素为零的假设条件,得到了更多具有强连续性和不强连续的广义Feynman-Kac半群例子.进一步丰富了这类广义Feynman-Kac半群强连续性问题的实例.为了方便我们先给出两个引理:

引理1[1]()t≥0是 L2(E,m)上的强连续半群当且仅当存在常数0≤ a≤ 1,A≥ 0,使得下面条件成立:

2 主要结果

则当α>0时,uα(x)∈D(E).事实上,

由于当α>0时,2α+1>-1,

因此

又因为

下面给出本文的主要结果,并用不同的方法来证明.

证明一:因为α≥ 1,所以有

因此,由引理2知,(Puαt)t≥0是L2(U,d x)上的强连续半群.证毕.

证明二:设f∈D(E),

考虑式(1)中定义的狄氏型(E,D(E)).令d= 2取

定理4 如果下面条件之一成立:

所以(Qu,D(E)b)非下半有界,再定理 1知()t≥0不强连续.

(2)同理可证.证毕.

[1]Chen C Z,Sun W.Strong continuity of generalized Feynman-Kac seMigroups:necessary and sufficient conditions[J]. J Func Anal,2006,237:446-456.

[2]Chen C.Z.,Ma Z.M.,Sun W.On Girsanov and Generalized Feynman-Kac Transformations for Symmetric Markov Process[J].World Scientific,2007,10(2):141-163.

[3]Ma Z M,Röckner M.Introduction to the theory of(Non-symmetric)Dirichlet forms[M].Berlin:springerverlag,1992.

[4]Fukushima M,Oshima Y,Takeda M.Dirichlet Forms and symmetric Markov Processes [M].NeWYork:Walter de Gruyter Berlin,1994.

[5]Ma Z M,Albeverio S.Perturbation of Dirichlet formslower semi-boundedness,closability and forMcores[J].J Funct Anal,1991,99:332-356.

[6]Glover J,Rao M,Šikîc H,et al.Quadratic forms corresponding to the generalized Schrödinger seMigroup[J].J Funct Anal,1994,125:358-378.

[7]Zhang T.Generalized Feynman-Kac seMigroups,associated quadratic forms and asymptotic properties[J].Potential Anal,2001,14:387-408.

[8]Chen Z Q,Zhang T S.Girsanov and Feynman-Kac type transformations for symmetric Markov processes[J].Ann Inst H Poincaïé Probab Statist,2002,38:475-505.

[9]杨晓玲.几类特殊广义Feynman-Kac半群的强连续性分析[D].海口:海南师范大学硕士学位论文,2009.

责任编辑:毕和平

Strong Continuity of Some Classes of Generalized Feynman-Kac SeMigroups

LIANG Qing,CHEN Chuanzhong*
(College of Mathematics and Statistics,Hainan Normal University,Haikou 571158,China)

In this paper,the strong continuity of some classes of generalized Feynman-Kac semigroups is studied,we obtain some examples of Generalized Feynman-Kac Semigroups that may be strongly continuous or not strongly continuous.

Dirichlet form;generalized Feynman-Kac semigroup;strongly continuous

O 211.62

A

1674-4942(2010)02-0134-05

2010-02-17

国家自然科学基金资助项目(10961012)

*通讯作者

猜你喜欢
例子连续性师范大学
不可压缩Navier-Stokes方程解的非线性连续性
《团圆之后》:“戏改”的“一个鲜明的例子”
非连续性实用类文本阅读解题技巧例谈
Study on the harmony between human and nature in Walden
Balance of Trade Between China and India
Courses on National Pakistan culture in Honder College
半动力系统中闭集的稳定性和极限集映射的连续性
Film Music and its Effects in Film Appreciation
连续性
用通俗的例子打比方