索膜结构裁剪设计中测地线的寻求

游飞贵

索膜结构是一种新型建筑结构形式,近年来发展相当迅速,其材料与制作,试验与检验方法以及施工方法等都与普通建筑结构有所不同[1]。索膜结构裁剪分析是索膜结构设计过程中的一个关键问题,如果裁剪分析不当,将极大地改变索膜结构中原来的应力分布,甚至出现褶皱。通常索膜结构是具有双向曲率的曲面,多数是不可展的。最好的近似方法当然是用许多具有无限小宽度的膜条来形成整个结构,但在实际工程中是不可能做到的[2]。用测地线来进行裁剪分析,可使膜片的边界不产生过大的弓形。本文根据文献[3][4]提出的方法,将其进行展开和深入,推导了最终求解测地线的公式,解决了索膜结构裁剪设计中的一个关键问题。

1 单元—节点拓扑矩阵

在求解测地线的过程中,应用单元—节点拓扑矩阵可以大大的简化和方便计算,因此有必要先引入单元—节点拓扑矩阵的概念。

设网络划分,单元数为m,节点数为n,其中元素定义如下:对于i单元,始端节点为r,终端节点为s,单元—节点拓扑矩阵C和D为矩阵m×n,可描述一个网络关系。设第j单元,始端节点为i,终端节点为i+1,单元坐标差为:

设为矩阵形式:

其中,u,v,w,q,r,s均为单元坐标向量(m×1);x,y,z均为节点坐标向量(n×1)。

2 求曲面上已知两点间的测地线

已知曲面上的两点,求经过这两点的测地线,该问题可以表述为:给定曲面 φ(x,y,z)=0,求曲面上所有连接已知点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)的曲线中,长度最短的曲线。问题归结为求泛函的极小值[2,3]:

其中,y(x),z(x)满足 φ(x,y,z)=0,求测地线问题为条件极值问题,用拉格朗日乘子法可化为求解下述辅助函数的极值问题,并取参数方程。

x=x(t);y=y(t);z=z(t);λ=λ(t)得到式(2):

其中,xt=dx/dt;yt=dy/dt;zt=dz/dt,当x=x1时,t=0;x=x2时,t=T。

若已知曲面方程φ(x,y,z)=0,则可由上式求得极值函数x=x(t),y=y(t),z=z(t)和 λ=λ(t)。由于我们得到的初始曲面是一些离散点,得不到初始曲面具体方程,因此得不到极值函数x=x(t),y=y(t),z=z(t)和λ=λ(t)。然而可以用分段近似的方法确定测地线。

3 寻求测地线的具体流程及其求解公式的推导

因为无法得到初始曲面的具体方程,可以利用分段近似的方法确定测地线,其具体流程如下[4]:

1)已知膜曲面的离散点p1,p2,p3…点的坐标,把这些点组成一个集合K;2)已知测地线的端点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),A,B点在边界索上;3)连接A,B两点,计算线段AB的长度,根据AB的长度,将线段n等分,得到n个单元,(n-1)个内插点M1′,M2′,M′n-1,把这些点组成一个集合为G,G内各点的坐标可通过计算求得,为已知量;4)取出第一个单元AM1′,以其中点为球心,R=10×|AM1′|为半径作球,球内所包含的K集合内的离散点为P1′,P2′,P3′…,这些点组成一个集合为P′,P′⊆K;5)利用P′中的离散点,进行曲面拟合,设近似曲面方程为:z=h0+h1x+h2y+h3xy+h4x2+h5y2,用最小二乘法得到曲面方程的系数h0,h1,h5…,设 φ1′(x,y,z)=z-z(x,y);6)将M1′的x,y坐标代入φ1′(x,y,z)=z-z(x,y)得到膜曲面上点M1(x,y,z),即为测地线上的一个初始点;7)对第2个～第n个单元重复步骤4)～步骤6),可得到测地线上的一系列初始点A,M1,M2,…,Mn-1,B,如图 1所示;8)取第i个单元MiMi+1,用4),5)同样的方法,以MiMi+1的中点为球心,R=5×|MiMi+1|为直径作圆,所包含的离散点进行拟合得到的单元MiMi+1附近的曲面方程φj(x,y,z)=z-z(x,y);9)对于第i个测地线单元,单元内任一点的坐标为:

对每一个单元设λ为常数,不随t变化。

根据以上9个步骤得到的每一单元的曲面方程和单元内任一点坐标的参数表达式,进而就能推导求解测地线的具体公式。因此,式(1)即测地线的总长可以表示为:

或表示为:

其中,k=(1,1,…,1);l1,l2均为n×1的向量;λ为n×n n个1阶对角矩阵。

对目标函数式(5)求变分得[5]:

令上式各泛函等于0,即:

上述方程组为一非线性方程组,采用牛顿—拉弗逊法和最速下降法联合求解[2],可得到x,y,z,即测地线AB上各个分段点M1,M2,…,Mn-1的坐标。

得到测地线AB的各分段点后,用线段将其连接起来,作为裁剪设计中的裁剪线。

4 结语

本文应用有限单元的思想,采用古典变分求极值的方法,给出了求测地线的具体步骤和详细流程,推导了确定测地线的相关公式。此方法可以任意改变测地线两端点的位置以及测地线的方向,充分利用了材料。并且根据本文的方法,作者编制了相应的计算机程序,通过多个算例的计算,把所得的结果和EASY软件计算出的结果作比较,发现二者计算结果的差异均在千分之一以内,具有相当高的精度。采用测地线作为裁剪线,子曲面展开图形边界曲率较小,裁剪片幅度大致相等,从而达到拼接简单和省料的目的。

[1]石井一夫,王炳麟.日本膜结构的发展[J].世界建筑,1999(3):70-73.

[2]王启文,吴健生.膜结构裁剪下料分析[J].工业建筑,1995,25(11):50-59.

[3]向 阳,沈世钊.薄膜结构的实用裁剪设计方法[J].空间结构,1999,5(2):46-50.

[4]沈燕华.空间索膜结构裁剪分析研究[D].广州:华南理工大学,2005.

[5]陈位宫.力学变分原理[M].上海:同济大学出版社,1989.