关于数值计算方法课程教学改革的探讨

李小林

(重庆师范大学 数学学院,重庆 沙坪坝 400047)

数百年来,人类应用科学实验和理论分析这两种科学手段推动着科技的进步和社会的发展.但对于比较复杂的问题,理论分析常常束手无策,同时科学实验又具有很大的局限性.随着上世纪电子计算机的飞速发展和广泛应用,科学计算被推向人类科学活动的前沿,并逐步发展成为第三种科学研究手段.目前,科学计算已被广泛应用于物理、化学、生物、地质学、气象学和材料学等学科,并产生了一系列计算性的学科分支,而数值计算方法是这些计算性交叉学科的基础和核心[1-2].

数值计算方法(又称为数值分析)着重研究各种数学问题的数值求解方法,包括方法的构造和求解过程的理论分析.它是数学和理工科专业的一门重要的基础课程,在培养学生抽象思维和解决实际问题的能力等方面起着举足轻重的作用.但由于数值计算方法既具有理论上的高度抽象性与逻辑严密性,又具有应用的广泛性与实验的高度技术性等特点,致使许多学生对这门课程缺乏学习兴趣,从而实际教学效果很不理想.因此,如何提高该课程的教学水平和教学效果已成为当前教学改革的焦点之一,备受数学教育界人士的关注[3-6].

从上世纪 80年代开始,许多高等院校相继把数值计算方法作为理工科专业本科生的基础课和硕士生的公共必修课,并经过近 30年的发展取得了可喜的成绩.但是该课程在目前的教学中还存在一些问题:1)本课程包括大量冗长繁琐的计算公式和算法分析,但教学时数普遍较少,因而在使用传统教学方法和手段授课时有些内容不能深入细致地讲解,导致教学效果不理想;2)受传统教学模式的影响,教学中只注重讲解算法原理,而对上机实践环节等不够重视.针对上述问题,本文从教学内容、教学方法和教学手段等方面探讨数值计算方法课程的教学改革.

1 更新教学内容

1.1 选择适宜教材,整合课程内容

国内外关于数值计算方法的优秀教材已有很多,但对于不同专业的学生,由于培养目标和教学计划有所差异,因此应该根据专业选取不同的教材.对于工科专业,主要使学生领会计算原理并掌握计算方法,所以教学中可以淡化数学理论的证明,强化计算方法在计算机上的应用[3-5],因此需要侧重方法讲解、算法设计和例题演算的教材,如文献[7].对于理科专业和其它理论要求较高的专业,要求学生不但能使用算法,而且还能研究和创造算法,所以教学中必须注重计算方法的构造原理及其稳定性、收敛性和误差分析等理论的证明[6],因此需要侧重理论推导的教材,如文献[8].另外,对于基础较好且要求较高的专业,可以选用国外优秀的原版教材,如文献[9],让学生在学习专业知识的同时提高他们阅读外文文献的能力.

在选定教材后,在教学时还需要根据学时等的安排整合教学内容.在学时较少时可以适当删减一些复杂且将来会随着继续深造而进一步学习的内容,如微分方程的数值解等;在学时较充裕时可以增加一些目前的学科研究热点,如有限元方法和大规模计算方法等.其次,还要深入处理选定的讲授内容,使得所讲内容不但能保证知识的完整性和理论的系统性,而且能注重课程的广泛应用性.

1.2 加强实践环节,培养应用能力

数值计算方法是一门把理论和计算密切结合的课程,所以为了让学生更好地体会计算方法在实际生活中的应用,我们在教学中必须加强实践环节.实践环节可安排两方面的内容.一方面,让学生对典型的算法进行上机实习.在这个过程中,要求学生对每一算法画出流程图,编制相应程序,然后上机调试并分析实验结果,最后写出实验报告.由于一个问题可能有多种计算方法,而每种算法又各有优缺点,因此要求学生使用不同算法计算这些问题,并通过对比分析找出它们的优缺点,从而加深对各种算法的理解.例如,对一道非线性方程题目,要求学生分别使用简单迭代法、Aitken加速迭代法、Newton迭代法和弦截法等求解.另一方面,在这门课程结束后,让学生分组完成一些综合性的课题,比如传染病的传播问题、边界元方法中奇异积分的处理、病态方程组和 Fredholm积分方程的数值计算等.学生通过查阅资料、建立数学模型、设计算法上机、分析求解结果,可以体验初级科研的整个过程,从而达到培养他们运用所学知识解决实际问题的能力.

教学实践表明,学生通过实践环节既有助于熟悉算法流程,加深对理论知识的理解,又有助于提高解决实际问题的科学计算能力,还有助于扩大知识面和提高科研创新精神,所以理论教学和实践环节是相辅相成的,两者缺一不可.

1.3 引入学科前沿,拓宽学生视野

科学工程计算的发展水平是衡量一个国家综合国力的重要标志[1-2].另外,信息技术的发展加快了各种知识的传播和更新,使得计算方法及其理论的发展异常迅猛,所以我们的教学内容必须紧扣当前计算学科发展的主流,只有这样才能使我们的学科发展和人才培养适应社会的发展需要.

在教学中,我们可以适当介绍计算学科的前沿知识和发展趋势,同时引入国内外的最新研究成果和学术报告,这样不但可以让学生学到的知识具有学术前瞻性,而且还可以帮助他们开阔思维和拓宽视野.比如,在讲授线性代数方程组的三角分解算法中的 Doolittle算法和 Crout算法时,可涉及大规模稀疏带状方程组的求解;而在讲授 Cholesky算法时,可涉及有限元方法、边界元方法和无网格方法等当前偏微分方程的主流数值解法.另外,从事相关研究的教师,还可介绍计算方法在自己研究领域中的应用,例如插值方法在图像处理中的应用,有限差分法等在力学和电磁学中的应用.

2 改革教学方法

2.1 采用启发式教学,重视问题引入

在传统的灌输式的教学模式里,学生总是被动地学习,这样的教学方式很容易让学生感到枯燥并产生厌学情绪,导致学到的知识只能用来应付考试.启发式教学是相对于灌输式教学而言的,学生在整个教学过程中充当教学的主体,而教师由知识的传授者转变为学生学习的组织者和指导者.启发式教学能调动学生学习的主观能动性,有利于提高学生分析问题和解决问题的能力[10].

众所周知,对于不同的数学模型,有不同类型的数值算法.这些算法都有很强的应用背景,因此教学中需要讲清算法提出的背景、目的和设计的出发点[6].对于每种类型的算法,可以先由实际问题建立数学模型,然后通过讨论分析得到解决该模型的算法及其理论基础,最后比较评估算法的优缺点并对算法进行提炼和改进.在讲解完一类算法后,要适时总结,指出这类算法所能解决问题的类型,讲清这类算法中各种算法之间的区别和联系,并尽可能地帮助学生分析如何改进已有的算法.例如,在讲解非线性方程的数值解法时,先举一个简单但不容易获得解析解的方程来说明数值解的必要性,然后根据几何作图和零点存在定理很容易得到求解的具体方法——二分法,最后通过分析二分法的优缺点,提出它的改进格式——简单迭代法.这种从实际应用背景出发的启发式教学体现了数值算法的价值和意义,不但能增加学生的学习兴趣,让他们在教师的启发和自己的主动思考中拓展思维空间和知识结构,而且能让他们在系统掌握理论知识的同时熟悉如何运用数学知识去解决实际问题的基本过程.

2.2 突出直观性教学,注重数形结合

对于计算方法中的很多内容,在教学中都可以运用画图和动画等数形结合的手段来突出所学知识的几何直观性,帮助学生从视觉上加深对所学知识的理解,这有利于提高学生学习计算方法的兴趣和效率.例如,插值中的 Runge振荡现象,学生在没有图形的情况下很难理解什么是振荡现象,以及为什么会发生这种振荡.但通过选取不同的等距插值节点,并动态地将相应的插值图形呈现在学生面前,学生马上就能理解 Runge振荡现象了.这样的例子在数值计算方法课程中比比皆是,我们在教学中要有意识地设计这样的图形,突出直观性.

3 创新教学手段

3.1 引入多媒体技术,强化课堂教学

数值计算方法课程涉及大量复杂繁琐的公式、算法分析和图形等,如果只使用黑板加粉笔的传统教学方式,将在板书上花费过多的时间和精力.随着计算机的发展和普及,多媒体技术为教学手段的现代化提供了多种可供选择的功能.多媒体教学具有内容丰富、图文并茂和易于操作等优点,能形象地展示一些数值计算过程,使教学内容变得生动和易于理解,达到板书难于实现的效果.但多媒体教学容易加快教学速度,淡化教师与学生的交流.所以,可以在教学中适当引入多媒体手段,充分发挥传统教学方式和现代教学方式的优势.对基本概念、方法、计算技巧和理论证明等的讲授可按传统的教学方式为主,而将公式应用、复杂计算、计算框图、程序设计和图形动画等利用多媒体课件进行演示,这样不仅能提高教学效率和教学效果,而且能使学生对所学知识更加容易理解和掌握.

3.2 利用网络资源,加强辅导答疑

由于受教学时间的限制,学生很难在课堂上完全吸收所学知识,因此我们在教学过程中需要利用课堂教学之余加强对学生的课后辅导和答疑.首先要注重学生平时的习题作业,并针对其中暴露的问题进行讲解.其次,我们还可以利用QQ、FTP、邮箱和论坛等网络资源加强辅导答疑这一辅助教学环节,将教案和习题答案等放在网上供学生查阅,同时还能了解学生掌握知识的程度并及时解答学生的问题,使辅导答疑对课堂教学的不足起到补充作用,进而提高教学效果.

4 结语

本文从 3个方面对数值计算方法课程的教学改革进行探讨.在教学中,我们应以算法的基本原理为基础,融入工程应用的思想,重视实践环节.虽然教学改革是一项长期而艰巨的任务,但只要我们在教学过程中注意选择教学内容和教学方法,积极改进教学手段,认真总结教学改革的经验,就能逐步提高该课程的教学质量和教学水平.

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[5]殷明,朱晓临,陈晓红,陈国琪.计算方法课程改革的设想与实践[J].大学数学,2006,22(5):15-17.

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[7]施吉林,刘淑珍,陈桂芝.计算机数值方法[M].北京:高等教育出版社,2009:1-296.

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[9]Mathews J H,Fink K D.Numerical methods using MATLAB[M].Third edition.Beijing:Publishing House of Electronics Industry,2002:40-607.

[10]汪维华.科研与启发式教学模式在高等教育中的应用[J].重庆文理学院学报:自然科学版,2009,28(2):82-83.