数学应用问题解决认知研究综述

孙 勇

（六安职业技术学院,安徽六安 237158）

数学应用问题解决认知研究综述

孙 勇

（六安职业技术学院,安徽六安 237158）

数学应用问题解决研究是数学问题解决研究的中心课题,对近年来国内外关于数学应用问题解决的理论依据、认知过程、影响因素等认知方面研究进行了综述。

数学应用问题;数学应用问题解决;研究综述

数学应用问题解决是数学问题解决中的重点和难点,也是数学教学的主要内容。国内外数学教育学与心理学学者针对数学应用问题解决这一课题进行了大量研究,取得了丰富的成果。本文试图对近年来关于数学应用问题解决认知研究作一综述,以期为进一步研究数学应用问题解决提供参考。

1 数学应用问题解决的心理学理论依据

数学应用问题解决的心理学理论依据经历了从桑代克的“试误说”到格式塔心理学派的“顿悟说”再到认知心理学的过程。

自1922年美国桑代克（E.L.Thorndike）发表《算术心理学》以后,桑代克的联结主义学习理论及问题解决的试误说成为当时数学应用问题解决的主要理论依据,认为解答数学应用问题的实质在于通过“尝试一错误”从而在应用问题的条件与问题之间形成直接联系。

布朗（W.A.Brownell）在吸收了格式塔心理学关于问题解决的顿悟思想以后提出,解答数学应用问题的过程并不是各种算法的试误过程,而是对选择算法的依据的理解即顿悟过程。

随着现代认知心理学的迅速发展,认知心理学家对问题解决进行了更深入的研究,从20世纪80年代起,大多数认知心理学家都倾向于赞成这样的观点,即问题解决的实质是解题者利用长时记忆中的信息或图式（Schema）,采用一定的探索方法,对课题进行的一系列认知信息加工过程。数学应用问题解决当然也符合数学问题解决的一般规律,并且有其独特的一面。廖运章认为[1],数学应用问题是一个完整的知识结构系统,是用一定的情节描述的数量关系数学问题。数学应用问题解决实质上是主体在数学元认知监控下,摆脱情节结构,建立并处理数量关系结构的一种数学认知活动。

2 数学应用问题解决的认知过程

关于数学应用问题解决认知过程,最具代表性的当属美国认知派的教育心理学家迈耶（R.E.Mayer, 1987）提出的四阶段理论。他认为,数学应用问题解决的两个重要成分是问题表征阶段和问题解答阶段,前者包括表征问题与问题综合,后者包括制定和调整解答计划、执行解答计划。国内学者张庆林[2]认为,数学应用问题解决的过程分为表征问题、解答问题、思路总结三个阶段。廖运章[1]则从数学建模的角度提出数学应用问题解决是“用模（意识）-建模-解模-验模”的过程。梁好翠[3]则认为数学应用问题解决是由情境理解与问题表征、问题归类与模式识别、建模解模与解题迁移、验模用模与自我评价等4个相互关联的子系统组成的一个动态过程。

但有人认为[4],虽然用“阶段”描述问题解决过程,易于把握,但却不贴切,因为问题解决中各种心理活动并非限于一定的时间段,没有严格的先后顺序,因此倾向于从心理活动类型的角度分析数学问题解决心理过程的机制。

迈耶（R.E.Mayer）认为,应用问题解决的关键是问题表征阶段,而问题表征的关键是识别问题类型。实际上,无论是用阶段理论还是心理活动类型来研究数学应用问题解决的认知过程,“问题表征”和“模式识别”都是学者们重点研究的数学应用问题解决认知过程中的最重要的心理活动。

2.1 问题表征

心理表征指在原有认知结构的基础上将外部信息以自己独特的方式或形式组织起来,并建构出一定的结构和意义。于萍[5]和傅小兰[6]等的研究都表明,正确的表征方式是解决问题的必要前提,解决应用题的关键是形成已知条件与目标之间问题情境的正确表征。

仲宁宁[7]、郑琳娜[8]、辛自强[9]等对国外关于数学应用题心理表征的几个主要理论作了较为系统的阐述:1、语言-形象表征论,Krutetskii根据信息加工方式的不同,把问题表征分为3种类型:语言型、形象型、混合型;2、表象表征论,Presmeg认为,中学生在解决数学问题时常用五类表象:具体的图形表象、模式表象、动觉表象、动态表象、对公式的记忆;3、图式-图像表征论,Hegarty将视空间表征形式仅区分为两种类型,图像表征和图式表征;4、直接转换-问题模型表征论,Mayer等人认为,在数学心理表征中存在两种基本的策略:直接转换策略和问题模型策略;5、三水平表征论,Cifarelli认为,应用题解决活动包括再认、再组织和结构抽象化三个概念结构水平。

我国学者对数学应用问题解决中的表征理论也进行了大量的研究:辛自强[9]在前人的基础上,提出了“表征复杂性模型”理论;郑琳娜等[8]在 Krutetskii理论和Hegarty等人理论研究的基础上,将小学生应用题表征的类型划分为两大类4种:一类是言语表征,包括关系表征、语词表征,第二类是图形表征,包括图式表征、图画表征;董妍等[10]研究认为小学生应用题的表征方式有复述内容、图式表征、图片表征、直译表征、语义结构分析等;鲍曼等[11]认为,将高中学生解决数学应用问题时的表征简化为5个不同层次:文字表征、具体表征、抽象表征、形象表征和数学表征是适当的;张庆林等[12]研究发现,小学生表征应用题的方式有三类:复述、画图、找关键信息。

2.2 模式识别

模式识别过程是感觉信息与长时记忆中的有关信息进行比较和分析,判断和决策它们的最佳匹配的过程。现代认知心理学关于数学应用问题的研究发现,学生是否识别应用问题的类型即模式识别是能否成功解决数学应用问题的关键。研究表明学生确实具有关于数学应用问题的若干模式,而且这些模式与求解新的问题有着直接的关系[13]。现代认知心理学提出了模板理论、原型理论、特征理论、拓扑学理论等几种关于模式识别理论模型[14]。

3 数学应用问题解决的影响因素

影响数学应用问题解决的因素很多,既有个体内部因素,又有外部因素。其中个体内部因素既包括认知因素,又有非认知因素。个体内部因素主要有知识基础、解题策略、认知方式、认知能力、元认知、非认知因素等方面。

3.1 知识基础

知识基础就是个体的先前知识及其表征。迈耶（R.E.Mayer）认为,解题时所需的知识分为五个范畴:语言知识、语意知识、图式知识、策略性知识和程序性知识。喻平[14]从 CPFS结构理论出发、李明振[13]从数学建模的角度进行研究,均表明学生已有的知识经验对数学应用问题解决有显著影响。

近年来学者们对于图式知识对数学应用问题解决的影响尤为关注。数学应用问题图式是关于数学应用问题类型和每类应用问题的数量关系结构特点等方面的知识,依数学应用问题的事实内容分类称为情节结构图式,而依数量关系结构分类称为数学模型图式[13]。数学应用问题图式知识有助于问题的深层次加工。研究表明[13],学生确实拥有典型数学应用问题图式（如:常用的代数应用题四种图式类型[15]:模版图式、家族图式、概念图式、类别图式）,其成功解答数学应用问题与掌握数学应用问题类型的适当的图式密切相关,专家（优生）拥有比新手（差生）更有用的数学应用问题图式。

3.2 解题策略

数学问题解决策略是区别于数学解题方法与具体技巧的、具有普适性的、最高层次的信息处理方法[13]。在数学应用问题解决过程中的每一个阶段都需要相应的策略。问题解决的认知策略通常有随机式策略、算法式策略、启发式策略。学者们主要关注在数学应用问题解决中的启发式策略研究。

鲍曼等[11]研究认为,根据问题的性质内容以及问题解决者的认知结构,将高中学生解决数学应用问题时解决策略划分为4种不同类型:盲目搜索策略、情境推理策略、原理统率策略和数学模型策略是适当的。对于高中学生成功地解决数学应用问题而言,原理统率策略明显优于情境推理策略。

路海东[16]依据意大利学者Daniela Lucangeli理论,通过对小学生解决数学应用问题的研究后认为:问题情境理解、问题表征、问题归类、解题计划和对列式的自我评价是小学生在解决数学应用题过程中的不同阶段相继采取的一系列认知策略,它们共同构成了小学生解决数学应用题的整体策略。

陈英和等[17]阐述了数学应用题解决的两种不同表征策略:直接转换策略、问题模型策略,并分析了其对数学应用问题解决的不同影响。路海东[16]通过对小学生对和差应用题的研究发现:不成功的解题者在表征和差应用题时倾向于运用直译策略,而成功组的解题者更倾向于运用问题模型策略,这导致了成功者与不成功者在列式上的差异,特别是在不一致题型上表现得更明显。

3.3 认知方式

所谓认知方式指个体偏爱的加工信息的方式,表现在个体对外界信息的感知、注意、思维、记忆和解决问题的方式上（皮连生,《教育心理学》,2004）。认知风格类型可以归结为两个基本的维度:整体-分析（Wholist-Analytic）维度（如场独立性与场依存性）和言语-表象（Verbal-Imagery）维度。

贠丽萍、游旭群[18]通过对小学生解数学应用问题研究发现,场认知方式与数学问题解决关系密切,学生场独立性越强,数学解题水平越高。不同场认知方式被试受不同问题呈现方式的影响也有所不同,在有视觉提示的呈现方式下,场依存型被试数学应用题解题水平提高程度较场独立型被试大,其中低空间能力-场依存型被试在图形提示的呈现方式下解题水平提高程度最大。鲍曼等[11]研究也表明,在解基本数学应用题时场独立性学生和场依存性学生差异不显著;在解难度较大的创变数学应用问题时场独立性学生占明显优势。

澳大利亚学者Lowrie和 Kay[19]通过对采用视觉化和非视觉化表征方式解决应用题的小学生进行研究发现,任务难度对于小学生采用何种方式表征应用题有重要的影响:对于难题和新颖的问题通常倾向于采用视觉化的表征方式,而对于较易的数学应用题则倾向于采用非视觉化的方式来表征。游旭群等研究表明[20],图形表征方式和图式表征方式下小学生的解题水平均高于文字表征方式下小学生的解题水平,这表明视觉提示有助于小学生应用题解题水平的提高。并且问题表征方式对不同年级被试解题水平具有不同的影响,随着年级的升高,图式表征对小学生问题解决的促进作用增强。

3.4 元认知

所谓元认知,就是对认知的认知,是“反映或调节认知的任一方面的知识或者认知活动”。元认知对数学应用问题解决的影响是全过程的,在数学认知活动中,尤其是解决数学应用题的活动中,需要各种认知因素的参与,而在这个过程中,需要主体不断地对认知活动进行监控、管理、选取策略以及调整思路等,这些调控都离不开元认知的参与[7]。杨光伟[21]根据前人的研究成果,对于数学应用问题解题活动前、解题活动中、解题活动后元认知的影响作用作了深入的探讨。游旭群[20]、李明振[13]通过大学生自我监控能力对其数学建模成绩的影响研究发现,自我监控能力直接影响数学建模成绩。

3.5 认知能力

认知能力是指人脑加工、储存和提取信息的能力,个体的认知能力是影响数学应用问题解决重要因素。近年来学者们关注的有视空间能力、工作记忆等因素。

视空间能力是人类智能结构中的重要组成部分,高空间能力学生的数学解题水平远远高于低空间能力学生。贠丽萍、游旭群等通过对小学生解数学应用问题研究发现[18],视空间能力是影响数学应用题解决的重要因素之一,空间能力越高,数学解题水平也越高,不同问题呈现方式是影响小学生数学应用题解题水平的重要因素之一。

工作记忆是容量有限的加工资源,其在储存信息的同时,还要对该信息或其它信息进行即时加工（这和短时记忆概念仅强调储存功能是不同的）[7]。在应用题情境表征中,非常重要的推论过程是在中央执行的监控和调节下,在语音环路和视空间模板的参与下进行的,所以工作记忆容量越大,个体就越多使用情境信息来进行因果推理[19]。

3.6 非认知因素

研究表明,学生的数学信念、动机、态度等多种非认知因素既可以增强数学应用问题解决的能力,也可以削弱数学应用问题解决的能力[20]。

4 问题与展望

数学应用问题解决的研究著述浩繁,成果丰硕。但笔者认为,还可以在以下几个方面作进一步的深化研究。

从生态学的角度看,数学问题解决活动是学生不断与外界环境进行能量、信息交换的动态和开放系统[22]。因此关于数学应用问题解决的内在认知机制与外界环境的关系方面可以再进行深入的研究。

国外学者关于数学应用问题解决能力训练的实验研究很多,国内学者也进行了卓有成效的研究:姚飞、张大均[23]的应用题结构分析训练;路海东[16]的问题情境理解训练、画图表征策略训练以及整体模型策略训练等。但是真正非常有效的操作性很强的训练实验,特别是大范围的实验研究还需要学者们作出进一步共同努力。

关于数学应用问题解决研究对象一般都集中在中小学的层次,特别是集中在小学的层次。在大学层次,特别是在应用性特点非常显著的应用性本科和高职专科层次的数学应用问题解决的研究偏少,这方面应该加强。

[1]廖运章.数学应用问题解决认知心理的实证研究[D].桂林:广西师范大学（硕士学位论文）,2000.

[2]张庆林.当代认知心理学在教学中的应用[M].重庆:西南师范大学出版社,1995.

[3]梁好翠.论数学应用问题解决的认知过程模式[J].钦州学院学报,2008,23（6）:107-111.

[4]苗天志,苗天慧.数学问题解决的心理分析[J].上饶师范学院学报,2006,26（3）:84-87.

[5]于萍,左梦兰.三—六年级小学生数学能力及认知结构的发展[J].心理发展与教育,1996,12（1）:29-32.

[6]傅小兰,何海东.问题表征过程的一项研究[J].心理学报, 1995,27（2）:205-209.

[7]仲宁宁,陈英和,张璟.数学应用题心理表征的研究现状与动态[J].心理学探新,2008,28（1）:39-43.

[8]郑琳娜,张奇.小学生应用题表征类型及其对问题解决的影响[J].辽宁师范大学学报（社会科学版）,2007,30（3）: 45-49.

[9]辛自强.数学应用题解决研究的理论进展[J].宁波大学学报（教育科学版）,2004,26（5）:13-18.

[10]董妍,路海东,俞国良.小学生应用题表征的类型和特点[J].心理科学,2004,27（6）:1352-1355.

[11]鲍曼,濮安山.高中学生运用FD I认知方式解决数学应用问题的表征及策略关系研究[J].数学教育学报,2002,11 （3）:89-92.

[12]张庆林,管鹏.小学生表征应用题的元认知分析[J].心理发展与教育,1997,13（3）:11-14.

[13]李明振.数学建模的认知机制及其教学策略研究[D].重庆:西南大学（博士学位论文）,2007.

[14]喻平.数学教育心理学[M].南宁:广西教育出版社,2004.

[15]郭兆明,宋宝和,张庆林.代数应用题图式研究概述[J].数学教育学报,2007,16（4）:20-23.

[16]路海东.小学生数学应用题解决的认知与元认知策略及其训练研究[D].长春:东北师范大学（博士学位论文）,2004.

[17]陈英和,仲宁宁,耿柳娜.关于数学应用题心理表征策略的新理论[J].心理科学,2004,27（1）:2-4.

[18]贠丽萍,游旭群.小学生数学应用题解题水平影响因素的实验研究[J].心理学探新,2006,26（4）:63-67.

[19]Tom Lowrie,Russell Kay.Relationship between Visual and Non-visual Solution Methods and Difficulty in Elementary Mathematics[J].Educational Psychology,2001,94 （4）:248-255.

[20]游旭群,张媛,刘登攀,等.小学生数学应用题解题水平影响因素的研究[J].心理科学,2006,29（4）:868-873.

[21]杨光伟.学生在数学应用问题解决上的元认知行为表现和信念[D].上海:华东师范大学（博士学位论文）,2006.

[22]吴海燕.生态观下数学课堂教学中几个问题的探讨[J].重庆师范学院学报（自然科学版）,2003,20（3）:87-89,94.

[23]姚飞,张大均.应用题结构分析训练对提高小学生解题能力的实验研究[J].心理学报,1999,31（l）:53-58.

The Summary of Mathematics Application Question Solution Cognition Research

SUN Yong

（L u’an Vocational and Technical College,L u’an237158,China）

The research for mathematical application problem solving is the central issue of mathematical problem study.In this paper,the author makes an overview of the recent cognitive studies on the theoretical basis,cognitive process and influential factors involved in mathematical application problem solving in China and abroad.

Mathematical application problem;Mathematical application problem solving;summary of research

O29

A

1009-9735（2010）02-0007-04

2010-03-02

安徽省高等学校省级教学研究项目“高职院校学生数学应用能力发展水平与表现特征研究”（2008jyxm659）。

孙勇（1963-）,男,安徽六安人,副教授,硕士,研究方向:数学课程与教学论。