通信信号变采样率频域实现方法

盛广铭， 吴中川， 王甲峰

（①解放军信息工程大学，河南 郑州 450002；②海军驻绵阳地区特种装置军事代表室，四川 绵阳 621900；③中国工程物理研究院电子工程研究所，四川 绵阳 621900）

0 引言

在通信信号的处理过程中，经常要根据实际需要对采样率进行调整，即要求信号分析系统能够工作在多采样率状态。一般来说，采样率的调整都是在时域进行的，计算量比较大。虽然可以采用多相滤波器组[1]来实现，以降低运算量提高运算速度，但对于大整数倍和分数倍变采样率，多相滤波器组的结构非常复杂[1]，而且其结构完全是通过数学推导得到的，不能直观地反应变采样率的物理过程。与时域处理相比，通信信号的频域处理方法，如上下变频、频域滤波等，通常能够简化处理过程，降低算法的复杂度，并且直接与物理过程相对应，易于理解。

1 解析信号

对于一个通信信号可以用实函数形式或复函数形式表示，在进行信号处理之前往往要将实信号复化，变为它的解析形式。最简单的方法是直接用实信号s(t)作复信号z(t)的实部，并添加一个信号x(t)作其虚部[2]：

通常的做法是保留其正频部分（并将幅度加倍，以使原信号的总能量保持不变），并剔除掉负频部分[2]。由于实信号的频谱为共轭对称，剔除负频部分不会造成任何信息损失，也不会带来虚假信息。这样，其频谱就不存在共轭对称性，所对应的时域信号应为复信号。因此，通信中接收机接收的一般是正交的两路信号，即信号的实部和虚部。如果只接收了一路信号，那就要对它进行复化，这样才能得到通信信号的幅度和相位信息。

剔除实信号的负频部分，在频域相当于把实函数的频谱通过一个阶跃式传输函数，其过程在时域可以表示为：

式中，H[ s(t)]称为s(t)的Hilbert变换，即[2]：

对于采样后的离散化数据，式（3）转换为：

由于解析信号非常便于处理，因此在后面的讨论中，都首先将通信信号复化为解析信号然后再进行分析。

2 整数倍升采样

整数倍升采样的一般原理如图1所示[3]。其中L为升采样的倍数，h( n)为低通滤波器，其过程是首先在原序列相邻数据之间插入L-1个0，然后在通过低通滤波滤除多余的频谱分量，就得到L倍升采样后的序列。下面以2倍内插为例讨论如何在频域实现这一过程。

图1 L倍升采样原理

设原序列为{s(n)}，n=0,1,…,N-1，其复数表示为{z(n)}，即s(n)=Re{z(n)}，插入0后的序列为{y(k)}，k=0,1,…,2N-1，不失一般性：

设Z(m)为z(n)的DFT变换[4]：

Y(l)为y(k)的DFT变换，即：

考察Y(l)：

当l≤N-1时：

当l＞N-1时，令l=N+v，则：

由此可见，插入0值后的频谱是原频谱延拓一个周期，而插零后的低通滤波，其作用就是滤除延拓的频谱[5]。这一过程可以推广到L倍升采样。L倍升采样中，插入L-1个0后信号的频谱是原频谱延拓L-1个周期，而滤波的过程就是将这L-1个延拓频谱滤除。这一过程等价于在原有频谱 Z(m)补(L-1)N个0。

综上所述，可以得到L倍升采样的频域处理过程如下，

① 将输入实信号s(n)进行复化，得到解析信号z(n)；

② 求z(n)的频谱Z(m)；

③ 在Z(m)进行扩展，补(L-1)N个0得到频谱Y(l)；

④ 对Y(l)做LN点的逆DFT运算并取实部，即得到了L倍升采样后的时域信号y(k)。

图2是部分仿真结果。输入信号是频率为1kHz的余弦信号，采样率为20 ks/s。为了便于比较，以样点数作为时域波形的横轴。

图2 整数倍升采样仿真结果

3 整数倍降采样

整数倍降采样的一般原理如图3所示[3]。首先通过低通滤波器h(n)滤除多余频谱分量，避免降采样后发生混叠，然后进行L倍抽取，即实现了L倍降采样。

显然，整数倍降采样是整数倍升采样的逆过程，这里只作定性分析而不再进行理论推导。在频域上，低通滤波就相当于将不需要的高频部分频谱置 0，而抽取就相当于对频谱进行截短，由此可以得到L倍降采样的频域处理过程如下：

a. 信号长度N能够被L整除，则：

① 将输入实信号s(n)进行复化，得到解析信号z(n)；

② 求z(n)的频谱Z(m)；

③ 对Z(m)进行截短，即只保留Z(m) m=0,1,…,N/L-1，得到频谱Y(l)；

④ 对Y(l)做N/L点的逆DFT运算并取实部，即得到了L倍降采样后的时域信号y(k)。

b. 信号长度N不能被L整除，则：

① 在序列前面补Nz个 0，使补 0后的序列长度M=N+Nz可以被L整除；

② 按照a中所述进行处理；

③ 去掉结果序列中的延迟样点，即得到了L倍降采样后的时域信号y(k)。

所需补零的最小数目，可按下式计算：

其中mod(N,L)表示N对L求模取余。

在序列前面补Nz个0，相当于将序列延迟Td=Nz/fs，fs是采样率，根据付利叶变换的性质，时域的时延对应频域的相移，而降采样后序列的时延不变，则：fsnew是降采样后的采样率。由此可以得到降采样后序列的延迟样点数：

即Nznew取大于Nz/L的最小正整数。如果Nz取最小即满足（12）式，则有：

因此如果Nz取最小，则降采样后，序列的延迟样点数恒为1。

在同样条件下进行了整数倍降采样仿真，仿真结果如图4所示。

图4 整数倍降采样仿真结果

4 分数倍变采样

设q、p为正整数且互为质数。则p/q倍变采样的一般原理如图5所示[3]。

显然，p/q倍变采样是p倍升采样和q倍降采样的级联过程，综合2章、3章中的讨论，可以得到p/q倍变采样的处理过程如下：

① 计算mod(N,q),如果为0则进行步骤②，否则，在序列前补Nq个零，使mod(Nq,q)=0，如果Nq取最小则可按式（12）计算；

② 对实信号进行复化得到相应的解析信号；

③ 计算解析信号的频谱，设频谱长度为M，如果mod(N,q)=0，M=N，否则M=N+Nq；

④ 保留频谱的前M·p/q项，构成一个新的频谱序列；

⑤ 对这个新的频谱序列进行逆DFT运算，并取实部，如果mod(N,q)=0，则所得的序列即为p/q倍变采样后的实信号，否则去掉延迟样点后，才能得到变采样后实信号。

延迟样点数按式（16）计算：

如果Nq取最小，则式（16）转化为：

由上述过程可见，整数倍变采样是分数倍变采样的特例。分数倍变采样的仿真结果如图6所示。

图6 分数倍变采样仿真结果

5 结语

前面介绍了通信信号变采样率的频域处理方法。从中可以看出，变采样率在频域中只是补零、截断等简单操作，而频谱的正反变换可以采用高效的快速算法，因此频域变采样率技术的计算量与时域处理方法相比有大幅度的降低；而且，其处理过程与变采样率的物理过程相对应，比较直观，易于理解。如果将频域变采样率与频域上下变频、频域滤波等频域处理技术结合起来，可实现数字基带信号与数字中频信号相互转换的全频域处理。另外，由于频谱计算需要将输入信号进行分段，因此频域分析技术特别适用于定时隙突发通信信号（如固定跳速的跳频信号）的处理中。

[1] 秦明伟，李德建，姚远程.软件无线电数字下变频及抽取技术研究[J].通信技术,2008,41(09):84-88.

[2] 曹志刚，钱亚生.现代通信原理[M].北京:清华大学出版社，1992：37-39.

[3] 陶然，张惠云，王越.多抽样率数字信号处理[M].北京:清华大学出版社，2007:25-36.

[4] 胡广书.数字信号处理[M].第 2版.北京:清华大学出版社,2003：121-122.

[5] 柴晓东，袁晓.数字信号抽取与插值不同次序的频域分析[J].通信技术，2009,42(02):317-319.