基于Kalman滤波的目标信号TOA测量校正

徐自励， 刘昌忠， 黄忠涛， 何东林

（中国民用航空局第二研究所，四川 成都 610041）

0 引言

多点定位系统中，目标信号到达时间（Time of Arrival，TOA）的测量准确度直接决定了系统对目标的定位精度。多点定位系统远端接收站对目标信号TOA的测量基于图1所示原理：高稳定度晶振输出的脉冲经倍频后得到测时时钟脉冲，收到目标信号时，计数器输出当前的脉冲计数值，经计时器乘以脉冲周期并由GPS秒脉冲标上绝对时标后，输出目标信号TOA。这里的GPS秒脉冲，具有对计数器清零（实现多站同步）与提供目标信号TOA绝对时标的双重作用。理论上说，如果晶振频率绝对精确稳定，GPS秒脉冲也绝对稳定，则测量到的目标信号TOA将绝对准确。然而，实际上晶振频率存在漂移，GPS秒脉冲存在抖动，从而降低了目标信号TOA测量的准确度。

本文针对多点定位系统远端站测量目标信号TOA的实际问题，分析了晶振频率偏移和GPS秒脉冲抖动对TOA测量准确度的影响，导出了基于Kalman滤波的目标信号TOA测量校正方法。数值仿真证明此方法可以有效地改善目标信号TOA的测量准确度，具有较强的现实意义与实用价值。

图1 目标信号TOA测量原理

1 影响TOA测量准确度因素分析与TOA测量校正

1.1 晶振频率漂移对TOA测量的影响

然而实际晶振输出的时钟脉冲存在着频率偏移，即实际时钟脉冲频率为，这里Δf为随时间变化的随机量，脉冲周期为。若目标信号真实 TOA为toaT，则计数器实际计数值为：

可见，由于时钟频率偏移，使得TOA测量值相对真实值产生了偏移。实际中如果能估计频率偏移量fΔ，则可以修正TOA测量值为：

设 GPS秒脉冲严格以 TG=1 s的时间间隔发送，则收到脉冲信号时，对标准频率为 f0的时钟脉冲，计数器的计数值为 N0= f0，对频率为 f = f0+Δ f 的时钟脉冲，计数器的计数值为 N = f0+Δf 。利用收到GPS秒脉冲时计数器的计数值对频率偏移Δf进行估计，有：

代入式（4），得到目标信号TOA的修正值：

这里，Ttoa′是目标信号到达时计时器的计时值，Gtoa是GPS秒脉冲到达时计时器的计时值。因此，当测时时间脉冲存在频率偏移时，可以利用收到GPS秒脉冲时计时器的值对目标信号TOA测量进行校正。

1.2 GPS秒脉冲抖动对TOA测量的影响

对因时钟频率偏移引起的TOA测量误差进行校正时，假设了GPS秒脉冲严格以的时间间隔发送，然而实际的GPS秒脉冲存在抖动(即使非常小)[1]。设GPS秒脉冲以时间间隔发送，这里tδ是很小的随机量，则对标准频率为0f的时钟脉冲，计数器的计数值为：

于是利用收到GPS秒脉冲时计数器的计数值对频率偏移fΔ的估计为：利用式（4），得到目标信号TOA的修正值为

由此可见，同时考虑晶振频率偏移与GPS秒脉冲抖动时，对目标信号TOA的测量值应根据收到GPS秒脉冲时计时器的计时值Gtoa与GPS秒脉冲抖动tδ利用式（10）进行修正。然而实际中tδ无法准确测量，这样只能用：

进行修正。由此引入的绝对误差为：

由式（12）可见，当GPS秒脉冲抖动tδ一定时，Ttoa′越小，即目标信号到达时间相对下一个GPS秒脉冲到达时间越早，由式（11）进行TOA修正引入的误差越小。

2 基于Kalman滤波的TOA测量校正

引起晶振实际频率相对标准频率发生偏移的因素很多，包括切片工艺、工作环境、温度变化、电压变化等，因此实际晶振输出时钟脉冲频率相对给定标准频率的偏移fΔ是一个随机过程，且实际当中无法测量的GPS秒脉冲抖动tδ也是一个随机过程。根据式（8）有：

因此收到GPS秒脉冲序列时，计时器的计时值序列Gtoa可以认为是一个非平稳随机过程[2]。为了对目标信号TOA测量进行校正，需要跟踪并预测GPS秒脉冲到来时Gtoa的变化情况，而跟踪并预测Gtoa的变化，采用Kalman滤波是一种很好的方式[3-5]。

由于观测到的Gtoa序列是标量时间序列，且没有外加激励，因此采用标量差分方程表示系统状态模型（为表示方便，以z代替Gtoa）：

这里过程噪声 wk可以认为主要是 GPS秒脉冲抖动，wk～ N ( 0 ,Q )，观测噪声 vk主要是计时精度限制引入的量化噪声，，其方差因此，这种情况下Kalman滤波只能得到“准最佳”估计。

Kalman滤波的状态更新方程为：

测量更新方程为：

利用Kalman滤波，跟踪并预测Gtoa的变化，并利用式（11）的修正关系，即可动态地对目标信号TOA测量的误差进行补偿，提高TOA测量的准确度。

3 数值仿真

直接利用实际数据验证上面导出的TOA修正算法需要采集很长时间的数据，并且系统其它噪声可能会掩盖算法修正效果，因此采用数值仿真的方法分别验证上述两部分算法的有效性。实际中目标信号TOA测量通常以ns为单位，这里也统一以 ns为单位（为避免绘图时坐标范围太大，部分图例采用其它时间单位坐标刻度）。

3.1 TOA测量校正

直接对时间频率偏移引起 TOA测量误差的校正算法进行数值仿真验证，难于确定一个评估标准，因此采用间接验证的方法：设有两个远端接收站，一个与这两个接收站距离相等的目标，则当两接收站完全同步，并且两站时间脉冲具有完全相同的频率时，测量到目标信号到达两接收站的时间差（Time Difference of Arrival，TDOA）应该为0；若两个接收站时钟脉冲频率存在不同的偏移，则测量到的TDOA不为0。

于是，可以通过验证对两站测量到的 TOA进行校正后TDOA的改善来评估算法的有效性。实验参数设置为：时钟脉冲标准频率f0=100 MHz,；GPS秒脉冲抖动 δ t=20 ns （修正 TOA时假设未知）；接收站 1的实际时钟脉冲频率f1=99.99999 MHz，接收站 2的实际时钟脉冲频率f1=100.00001 MHz；设两个远端接收站经GPS秒脉冲同步后，目标每隔50 ms发送一次信号，忽略晶振短稳与计时器量化误差。

实验结果如图2～7所示，其中图2～4是未经TOA校正的结果（与实际设备测试的结果很接近），图5～7是经TOA测量校正的结果。显然，经过校正后，TDOA值已基本为0，证实了TOA测量校正算法是很有效的。下页图8～9为两接收站TOA测量校正值与实际TOA值的误差，证实了当GPS秒脉冲抖动δt一定时，toaT′越小，即目标信号到达时间越早，由式（11）进行TOA修正引入的误差越小的结论。

图2 1接收站测量的TOA（未经校正）

图3 2接收站测量的TOA（未经校正）

图4 两接收站测量信号的TDOA（未经校正）

图5 1接收站测量的TOA（已经校正）

图6 2接收站测量的TOA（已经校正）

3.2 时钟频率变化的Kalman滤波跟踪

由于实际晶振的频率漂移是慢变化过程，因此可设式（14）中的参数A=1。设时钟脉冲的标准频率f0=100 MHz，在600 s时间内时钟频率的漂移如图10所示；GPS秒脉冲抖动计时器量化误差模拟出600 s内接收到GPS秒脉冲时计时器未标绝对时标的测量数据值如图11所示，图11中还绘出了由Kalman滤波得到的测量数据的先验估计值（预测值）与后验估计值。图12、13为先验估计值、后验估计值与测量数据间的误差。从图13所示结果可以看出，利用Kalman滤波估计出的计时值与实际值非常接近，即利用Kalman滤波可以很好地跟踪GPS秒脉冲到来时计时器测量值的变化；而从图12结果可看出，Kalman滤波通过跟踪数据中时钟频率漂移的趋势，提供了误差主要取决于GPS秒脉冲抖动的测量数据的较好预测，该预测值将用于目标信号TOA的测量校正。虽然参数Q与R的选择直接影响到滤波效果，实际中需要仔细选择[7]，但这里数值仿真的条件与参数设置都尽可能反映实际系统工作情况，并且因为实际晶振的频率漂移比仿真设置的还要缓慢，因此可以预料此方法运用于实际系统中也能取得较好的效果。

图7 两接收站测量信号的TDOA（已经校正）

图8 1接收站TOA校正值与实际值的误差

图9 2接收站TOA校正值与实际值的误差

图10 时钟脉冲频率漂移特性

图11 时间测量值与估计值

图12 先验估计误差

图13 后验估计误差

综合两部分仿真结果所显示的算法性能，可见对于多点定位系统远端站测量目标信号TOA时存在的时钟脉冲频率偏移问题，运用Kalman滤波估计GPS脉冲到达时间并利用该估计值修正目标信号TOA测量值的方法，可以改善目标信号TOA的测量准确度，具有较强的现实意义与实用价值。

4 结语

针对多点定位系统远端站测量目标信号 TOA的实际问题，分析了晶振频率偏移和GPS秒脉冲抖动对TOA测量准确度的影响，导出了TOA测量校正方法。通过利用Kalman滤波，估计GPS脉冲到达时间并利用该估计值修正因时钟脉冲频率漂移导致的目标信号TOA测量误差。数值仿真证明此方法可以有效地改善目标信号TOA的测量准确度，对多点定位系统具有很现实的实用价值。

[1] [美]Kaplan E D,Hegarty C J.GPS原理与应用[M].第 2版.寇艳红译.北京：电子工业出版社，2007:44-45,224-239.

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[7] Welch G, Bishop G.An Introduction to the Kalman Filter[M]. Los Angeles:CA,2001:35.