基于博弈论的UWB功率控制

刘 敏， 陈 光，石 燚

（东华大学 信息科学与技术学院，上海 201620）

0 引言

超宽带（UWB）是一种相对带宽(信号频谱的带宽与其中心频率之比)大于等于 20%,或者绝对带宽大于等于 500 MHz的信号。UWB的发展主要集中在传输距离约为10公尺的无线PAN，其数据传输速度为110～480 Mb/s。这种高速的传输能力可使室内中的娱乐系统建立起多媒体传输的管道[1]。UWB多用户网络也会受到远近效应的影响，同时多用户间也存在明显的信号互干扰，因此功率控制是很重要的。通过控制发射功率可提高电源的有效应用，降低用户间的相互干扰，并可适应信道改变和设备移动产生的链路变化。

近年来，博弈理论在功率控制方面的应用得到了广泛研究。博弈论是研究理性参与人在竞争冲突的环境下的决策行为，通过数学模型的求解和分析，探讨局中人的决策行为。博弈包括非合作博弈和合作博弈。非合作博弈的典型应用就是功率控制、分布式的信道分配、接纳控制等；合作博弈用来进行OFDM中子载波的调度、功率分配等等。D.Goodman等人提出了一种非合作博弈功控的基本模型（Noncooperative Power Control Game）[2]；文献[3]研究了基于代价函数的博弈功控问题，并证明了这种博弈功控具有更好的性能（得到了帕累托改善）。

目前，对UWB网络的功率控制的问题也有一些研究。文献[4]采用了吞吐量最大化博弈来分析 UWB功率控制问题。而本文在针对多用户UWB网络中提出一种新的效用函数，并引入价格函数以提高系统的效率。

1 UWB多用户博弈功率控制

1.1 系统模型

在博弈论数学模型中，博弈者在争取最大利益的同时总是尽可能地减少自身的代价，博弈者的这两种行为可以分别用效用函数和代价函数来描述，各博弈者为自己力争最大利益的行为则可以等价为使效用函数最大化或者是使代价函数最小化。

在UWB的两种体制中，单频带体制的DS-UWB系统是室内网络比较理想的方案。在室内环境中，很多因素都会影响无线电波的传输，物体上折射或其他无线信号都会导致严重的信号质量问题。DS-UWB利用可能的最大带宽，生成最短的脉冲，这种方法可以确保顺利进行连接，让设备能够清楚地识别其他设备的位置，最大程度地提高连接性能和服务质量。

考虑一个具有N个用户DS-UWB系统的信号通过多径室内信道，假设每个用户的信息符号由cN个码片组成，第i个用户的发射信号表示为：

1.2 基于价格函数的博弈功率控制

在 NPG博弈模型中，用户的自我优化常常会产生降低他人利益的外部影响，价格机制就是解决这类问题的一种有效工具。根据边际效用理论，边际效用将随着信噪比的增加而递减，即效用的增长率会逐步降低。在文献[5]中设计了一个基于用户SIR的log型效用函数，正是体现了这一思想。本文设计一个线性的基础效用函数，来体现用户对数据业务的满意程度。定义用户i的效用函数为：

iα为陡峭系数，表示反正切函数的陡峭程度；iλ为价格因子，

用来表示用户i的发射功率大小。

1.3 纳什（Nash）均衡

每个用户要最大化自己的效用，不仅要改变自己的发射功率那么简单，还要考虑其他用户的干扰，每个用户均最大化自己的效用函数，达到任何用户都不背离均衡，即纳什均衡。因此功率控制问题，就成了使效用函数最大化的问题。为了求得纳什均衡，效用函数 ui(p)在 pi上的一阶导数为：

此算法的迭代公式为：

从式（6）可知，功率向量不仅依赖于表征用户的参数αi，λi以及 hi，还依赖于UWB通信方式的一些参数，如处理增益G，其他用户的总接收功率

1.4 Nash均衡的存在性和唯一性证明

下面分析功率控制博弈中纳什均衡的存在性和唯一性。

1.4.1 纳什均衡的存在性证明

①iP是欧几里得空间NR 中非空的、闭的、有界的凸集；

② ui(p)在p上连续，在 pi上拟凹。

证明：

对效用函数求ip的二阶微分：这里 γi≥。由上式可知，效用函数ui(p)在 pi上凹的，而一个凹函数也是拟凹的，所以效用函数 ui(p)在 pi上拟凹的。

由此证明此非合作博弈功率控制存在纳什均衡。

1.4.2 纳什均衡的唯一性证明

设p为非合作博弈的纳什均衡。根据前面纳什均衡的定义，假设 p =r (p)，其中。证明纳什均衡唯一性的关键是证明对应 r(p)是一个标准函数，一个函数如果满足以下性质则称为是标准的：

正性（Positivity）， r(p) ＞ 0 ；

证明：

单调性：假设 p/＞p，则对∀i有

上式满足大于0的充分条件是：

所以性质2满足。

因此，此非合作博弈功率控制的纳什均衡点唯一，算法收敛于唯一点。

2 算法仿真与性能分析

系统模型为一个室内的 DS-UWB多用户通信系统，室内随机分布着10个用户，其终端间的通信半径 10d≤ m。系统中其他仿真参数如表1所示。本文将博弈算法与传统功率控制算法进行比较，证明其收敛性。

表1 仿真参数

当B=500 MHz在频率范围3.1～10.6 GHz内，可以得到：

传统的典型的功率控制算法的迭代公式为[6]：

将博弈算法与传统算法进行仿真比较如下：博弈算法的收敛速度明显比传统算法收敛速度提高一倍，博弈算法在迭代次数小于10次的时候就收敛，而传统算法需要迭代20次才收敛；且博弈算法的发射功率低于传统算法的发射功率。

3 结语

本文在分析DS-UWB室内多用户通信系统的功率控制的基础上，提出一种基于博弈论的功率控制分布式算法，论证了非合作功率控制博弈中纳什均衡的存在性和唯一性。通过对新算法和传统算法的仿真实验比较，结果表明新算法可以用较低的传输功率获得较高的效用，且算法具有较好的收敛性能。

[1] 葛利嘉,朱林,袁晓芳,等.超宽带无线电基础[M].北京:电子工业出版社,2006.

[2] Goodman D, Manda Y N. Power Control for Wireless Data[J].IEEE Personal Communications Mag.,2000.7(04):48-54.

[3] Saraydar C, Manda Yam N, Goodman D. Efficient Power Control via Pricing in Wireless Data network[J].IEEE Trans Common.,2002,50(02):291-303.

[4] Bacci I,Luise M, Poor H V. Game Theory and Power Control in Ultrawideband Networks[J].Physical Communication,2008:21-39.

[5] Alpcan T, Basar T, Strikant R, et, al. CDMA uplink Power Control as A Non-cooperative game[C]//The 40thConf on Decision and Control.Orlando,Florida,USA:[s.n.],2001.

[6] Nash J F.Equilibrium Points in N-Person Games[J].Proceedings of the National Acadency of Sciences,1950,36(01):48-49.