K量级群变换BCH码纠错方法研究与实现

查艳芳， 殷奎喜， 赵 华， 刘学军

（南京师范大学a.物理科学与技术学院; b.地理科学学院，江苏 南京210097）

0 引言

BCH码是1959年由霍昆格姆(Hocquenghem)[1]提出的一类可以纠正多个随机错误的循环码，它具有很强的纠错能力[2]。随着信息技术的广泛应用和人们生活水平的不断提高，越来越多的图片、视频等K量级的信息需要在各个终端之间进行传输。本文介绍了一种K量级群变换BCH码纠错方法，它不仅能够实现终端之间K量级信息的传递，同时它将K量级的信息作为一个数据包，在接收端进行整体的包解码和包纠错。

1 K量级BCH码纠错

对于图像与视频等信息，由于它们的数据量比较大，如果每次端点之间用8位或16位的方式进行传输，则对于拥有上M的数据量的图片或者视频信息来说，则需要经过上千上万甚至更多次编解码才能传完，这就使得传输过程变得十分的繁复。为了避免以上的弊端，我们提出了利用群变换的BCH码纠错方法来完成K量级信息的传输。

根据BCH码的相关特性，我们可以构造码长为1023，信息位长度在1k以上的BCH码。在发送端，我们将1023个数据作为整体进行传输。在接收端，也是对 1023个数据的数据包进行整体的解码与纠错，即包解码和包纠错。

这里，我们构造码长 n=1023，信息位长度 k=1003，它的码率它可以纠正2个错误。根据BCH码的定义，构造(1023,1003)的BCH码，它的生成多项式g(x)[3]：

利用群变换编码方法，可以很容易的实现K量级数据的解码与纠错。与其他BCH码解码方法相比，群变换纠错方法简单易懂，步骤简便，算法简便，计算过程简单，计算时间较短。而且将K量级数据包作为整体进行处理，处理的速度快，数据量大，很好的符合了现代通信与数据传输的要求。

2 群变换BCH码纠错方法

2.1 群变换BCH码编码方法

在(n,k)的 BCH码中，码长n，信息位长度k，生成多项式g(x)的阶数r=n-k。由于g(x)的阶数等于发送矩阵的监督位长度，即监督位长度为r。

在群变换的BCH码编码方法中，首先根据BCH码的生成多项式 g (x)，运用群变换方法，产生对应的生成矩阵，它是一个k×n的矩阵[4]。

2.2 群变换纠错方法

由于信道中存在噪声等干扰，所以数据在传输过程中可能发生错误，此时接收端接收到的矩阵B=C+E，其中C是发送的矩阵，E是错误矩阵。根据生成矩阵与校验矩阵之间的关系[5]：

如果发送矩阵 C在传输的过程中仅存在一个错误错误，那么伴随子向量RS与监督矩阵行向量一一对应。我们可以通过查找表的方法，查找伴随子向量RS在监督矩阵中的位置，来确定接收矩阵B中发生错误的位置，并予以改正。例如，解码过程中，通过查找得到的伴随子向量 SR等于监督矩阵 中的第i行向量，这就表示接收矩阵B中第i位数据出错，只要将接收矩阵B中第i位予以改正，那么在接收端就可以得到正确的数据矩阵。（见图1）。

图1 单个错误时的对应关系

图2 多个错误时的对应关系

2.3 K量级群变换BCH码纠错方法

对于K量级的数据，根据群变换BCH码解码时，伴随子向量RS与监督矩阵行向量之间的对应关系。我们可以很容易的对K量级的数据包进行整体的解码和纠错。以能纠正2个错误的K量级的BCH码为例，首先对1003个信息位整体进行编码，编码后得到既有信息位又有监督位，数据量为1023 bit的数据包，并进行发送。

在解码时，接收端将有 1023 bit的数据包作为一个整体，把它与监督矩阵相乘，得到伴随子向量RS，再根据的情况，判断传输过程中是否发生错误，如果发生了错误，再通过查表的方式，找出伴随子向量 SR在查找表中的位置，即判断 SR与监督矩阵 中的行向量的之间的关系，从而确定接收到的数据包中的错误情况，并予以纠正，最后得到正确的信息。

3 K量级BCH码的误码率

假设在随机信道中发送“0”的错误概率和发送“1”的错误概率相等为P，且 1P≪ ，在码长为n的码组中恰好发生t个错码的概率为[6]：

它的码长n=1023，最多可以纠正2个错误，

通过以上的分析可以看出，在信噪比相同的情况下，采用K量级BCH码纠错方法，可以使误码率改善到的数量级，即误码率改善了20 dB以上。这说明，将K量级的BCH码作为一个数据包进行传输，不仅使解码过程简单快捷，也使误码率也得到了很好的改善。

4 K量级BCH码的硬件实现

由于群变换的BCH码纠错方法简单，步骤简便，所以可以在硬件上比较容易的实现它。

本文用Verilog HDL语言，在Quartus II 7.2平台上对K量级的BCH码编解码进行硬件仿真，并采用Altera公司生产的Cyclone III EP3C25F324C8NES芯片来予以实现[7]。

K量级BCH码纠错方法的硬件实现可以分为两大模块，即编码模块和解码模块。在编码模块中，首先通过串并转换将输入的K量级的串行数据转换为并行数据，经过编码后，得到既有信息位又有监督位的，数据量为1023 bit的K量级数据包，然后通过并串转换后进行发送。由于要进行数据间的并串转换，所以要对时钟进行分频，使得整个编码模块的时序得到统一。

解码模块首先将接收到的K量级的数据包进行串并转换，在解码时，根据伴随子向量与监督矩阵的对应关系，通过判断伴随子向量在监督矩阵中的位置关系，来对接收到的数据包进行检错和纠错，然后再通过并串转换，输出正确信息。在判断伴随子向量RS在监督矩阵∧H中位置时，通过查找表的方式，即先将∧H的行向量以及所有行向量的组合存储在RAM中，然后在RAM中进行查找，当查找到与RS相同的行向量，或者相应的行向量的组合时，相应的行数即为接收矩阵中数据发生错误的位置，从而完成解码与纠错。

对K量级群变换BCH码进行编码仿真（如图5）。由于信息位（1003位）和编码过后的数据位（1023位）太长，只能显示部分的信息位（m）和编码过后的数据（dout），cout为监督位（10 位）。从图 5中可以看出编码后的数据高20位（第1022～1003位）为监督位，之后的1003位为信息位。

图3 K量级BCH码编码模块

图4 K量级BCH码解码模块

图5 编码波形仿真

5 结语

利用群变换 BCH码纠错方法对数据进行解码和纠错时，其伴随子向量与监督矩阵行向量之间存在对应关系。正是这种对应关系，使得BCH码的解码和纠错过程变得简单快捷。所以我们将这种方法应用于K量级信息的编解码，从而实现端点之间的大数据量的传输。对一个通信模型而言，K量级信息在传输过程中的误码率能改善20 dB以上。由于K量级群变换BCH码纠错方法算法简便，实现容易，因而它可以在实际中得到很好的应用。

[1] Hocquenghem J.Codes Correcteurs d’erreurs[J].Chiffres,1959(02):147-156.

[2] 王兰勋，白金凤.基于Logistic混沌序列和BCH码交织编码的语音保密通信方法[J].通信技术，2008，41（04）:67-69.

[3] 横山光雄.スペクトル 扩散通信システム [M].日本：日本技术出版社,1999:529.

[4] Kui X Y,Kishi M.The High Capacity and High Speed DiffCDMA with the BCH Double Error Correction and Continuous Phase Primary Modulation[C]//IEEE PIMRC’99.Osaka, Japan: IEEE 1999:1556-1560.

[5] 王新梅，马文平，武传坤.纠错密码理论[M].北京：人民邮电出版社，2001:58.

[6] 樊昌信,张甫翊,徐炳祥,等.通信原理[M].第5版.北京：国防工业出版社,2005:284.

[7] 宁楠,鲍慧,宋文妙.一种基于FPGA的纠错编译码器的设计与实现[J].通信技术,2008,41(08):95-97.