水蒸气在霜层中扩散的分形模型

蔡亮，侯普秀，虞维平，张小松

(1. 东南大学 能源与环境学院，江苏 南京，210096;2. 华南理工大学 机械及汽车工程学院，广东 广州，510641)

目前，结霜现象得到广泛重视[1-3]。结霜问题的研究重点之一是对霜层物理性质进行研究，包括水蒸气在霜层中的有效扩散。水蒸气通过扩散进入霜层并凝结为冰晶体，其中一部分用于增加霜层的密度，另一部分用于增加霜层的厚度。关于水蒸气在霜层中的扩散模型，Brian等[4]将传统扩散理论应用于结霜现象中，但没有考虑霜层是一种固体边界不断生长变化的多孔介质；Tao等[5]在其模型中引入了1个参数来研究除了孔隙率之外的其他因素对扩散过程的影响，但这个模型的计算结果不能体现出通道弯曲的影响；Auracher[6]研究了结霜过程中水蒸气在毛细管中的扩散过程，据所建立的模型得出曲折的通道反而加强了水蒸气的扩散，这与事实不符。近年来，分形理论得到广泛应用[7-11]，不少研究者将分形理论引入到多孔介质传热传质的研究中来[9-11]，并取得了一定的进展。本文将以侯普秀等[12]的研究为基础，分析不同孔隙率下水蒸气扩散通道的弯曲特性，进而获得水蒸气在霜层中的有效扩散系数。本文暂不考虑热扩散效应，并假定水蒸气的扩散遵循Fick定律。

1 水蒸气在霜层中的扩散模型

1.1 霜层对水蒸气扩散过程的影响

霜层对于水蒸气的扩散起到了阻碍作用，主要表现在2个方面：(1) 水蒸气通道面积减小；(2) 使水蒸气扩散的通道存在一定的弯曲，因此，水分子运动的路径变长，扩散变得缓慢。水蒸气扩散通道示意图如图 1所示，其中：L0为水分子自由飞行的距离；cv1和cv2为水蒸气浓度；Nv为扩散通量。

假定各扩散通道的横截面积不变，水蒸气在霜层中的有效扩散系数可以表示为：

图1 水蒸气扩散通道示意图Fig.1 Schematic diagrams of water vaper diffusion alleyway

其中：Deff为有效扩散系数；Dva为水蒸气对空气的扩散系数；dx为水蒸气浓度梯度方向的距离；ds为水蒸气扩散所经过的实际路径；ε为霜层的孔隙率；Av为孔隙面积；At为截面的总面积。

不仅孔隙率会对扩散过程有影响，孔隙的分布以及通道轴线的弯曲也对扩散过程有影响。为此，需要采用一些结构参数来表征孔隙的分布情况以及通道轴线的弯曲程度。侯普秀等[12]的研究结果表明：冰晶体的分布在一定直径范围内(λmin＜λ＜λmax，λmin和λmax分别为孔隙的最小直径和最大直径)具有分形特征，其分形维数随着霜层的生长过程而变化。本文作者采用孔隙分形维数df以及轴线分形维数ds来表征上述因素对扩散过程的影响。

1.2 水蒸气在霜层中扩散的通道

水蒸气在霜层中扩散通道的轴线具有分形特征，其长度可以用如下形式表示[4]：

其中：ds为通道轴线的分形维数，ds＞1；L(λ)为水分子在直径为λ的通道轴线扩散经过的距离；L0为水分子在此两端自由飞行的距离。

由式(2)可以看出：直径较大的通道本身扩散面积较大，且扩散通道弯曲程度较小，水蒸气在其中的扩散路径较短。而直径较小的通道本身扩散面积小，且弯曲程度较大，水蒸气在其中的扩散路径较长。因此，直径较大的通道其水蒸气的质量流量较大，在扩散中起主要作用；而小直径的通道则起一定的辅助扩散作用。

1.3 有效扩散系数的计算

考虑如图 1(a)所示的扩散截面，其孔隙数服从如下关系[13]：

其中：N为孔隙数；λ为通道直径；df为孔隙分形维数；λmax为孔隙最大直径。采用式(3)在计算小孔隙时，对前面的大孔隙采用小直径分割后进行了计数。以标准的分形结构 Sierpinski地毯为例，其二级孔隙会将一级孔隙作为9个二级孔隙来计算。

Mandelbrot[14]认为，对式(3)微分即可求得λ～dλ间孔隙数。但实际上这个数目包含了对大孔隙的重复计数，以图 1(a)为例，计算二级孔隙时会将一级孔隙当作9个二级孔隙计数，计算三级孔隙时会将1级孔隙作为27个三级孔隙，将二级孔隙作为9个三级孔隙，依此类推。为此，在计算孔隙数时需要加入修正项(λ/λmax)2，修正后的结果为：

所有孔隙中单位时间内扩散通量为：

其中：Dva为水蒸气在空气中的扩散系数；ΔC为浓度差；λmin为最小孔隙直径。

当df=2，ds=1时，意味着此时没有霜晶体存在，孔隙率为100%，扩散没有受到扩散面积变小以及通道弯曲的影响。此时，最大孔隙，式(6)还原为常见的形式。Yu等[15]证明了有如下公式成立：

其中：d为欧氏空间维数。对于实际多孔介质，式(7)近似成立。将式(7)代入式(6)，考虑求解扩散系数的公式，可得有效扩散系数的表达式：

2 计算结果及讨论

式(8)中有 3个未定参数，即λmax，λmin以及ds，其中：λmax和λmin分别为At中最大以及最小孔隙直径；ds为通道轴线的分形维数。由式(2)可知，当λmin小到一定程度时，通道截面非常小，且这种孔隙弯曲程度非常严重，故水蒸气在其中的扩散通量很少，对计算结果影响很小。当ε=0时，意味着空间全部被冰晶体所占据，λmax=0，此时，可以认为通道轴线遍历了二维平面上所有的点，因此，ds=2；当ε=1时，空间中不存在冰晶体，。假定λmax以及ds与ε存在线性关系，即可求得不同孔隙率下水蒸气在霜层中的有效扩散系数。图2所示为本模型与其他模型计算结果的对比。

图2 本文模型与其他模型的对比结果Fig.2 Compared with model in this paper and other models

由于霜层生长过程复杂，目前很难采用实验方法来测定水蒸气在霜层中的有效扩散系数。目前，大多数研究者认为水蒸气的扩散与霜层的孔隙率紧密相关。然而，从图2可以看出：当孔隙率相同时，由于所建立的模型不同，计算得到的扩散系数也各不相同。这充分说明除了孔隙率之外，还有其他因素影响水蒸气在霜层中的扩散，这个因素就是霜层的结构。

图2中曲线1是Brian等[4]在考虑霜层在冷壁面上沉积时采用的模型。这个模型将传统扩散理论应用于结霜现象中，认为水蒸气在霜层中的有效扩散系数与孔隙率相关，水蒸气扩散路径的弯曲采用界于1.1～1.3的曲折因子来表示。对于固体骨架固定的多孔介质，选取适当的曲折因子，理论分析结果与实际情况比较吻合。但霜层是一种固体边界不断生长变化的多孔介质，水蒸气扩散的路径也不断变化，而这一点在这个模型中没有得到体现。此外，当ε=1时，意味着水蒸气在空气中扩散，应有Deff=Dav，而本模型的计算结果显示Deff＜Dav。

Tao等[5]在其模型中，引入了另一个参数来考虑除了孔隙率之外的其他因素(包括所谓的hand-to-hand过程)对扩散过程的影响。这个表达式的最大缺点就在于这个参数值难以确定，往往需要根据实际情况来使用不同的值。图2中曲线3是该参数为0时的计算结果。从计算曲线可以看出：在ε=1以及ε=0时，采用这个模型所得结果与实际结果相符，但这个模型最大的缺点就是计算结果中没有体现出通道弯曲的影响。图2中曲线2是 Auracher[6]在研究了霜层结构以及结霜过程中水蒸气在毛细管中的扩散过程而得到的结论，这个模型的计算结果大于曲线3所示结果，也就是说，曲折的通道反而加强了水蒸气的扩散，这明显与事实不符。

曲线4为由本模型所得到的结果。可以看出：当孔隙率较小时，曲线上升比较缓慢，表明此时孔隙尺度相对较小，通道弯曲程度较大，孔隙尺度的轻微变化对有效扩散系数影响小；当孔隙率较高时，孔隙尺度的增加有可能将多个较小的孔隙合并为大孔隙，从而使弯曲程度急剧减小，有效扩散系数迅速上升。本模型在ε=1以及ε=0时所得结果与曲线3所示结果相同，其余计算点的结果始终小于曲线3所示结果，表明通道的弯曲始终阻碍了水蒸气的扩散。因此，从理论上来看，本模型更反映实际情况。

3 结论

(1) 建立了基于分形理论的水蒸气在霜层中的扩散模型。该模型反映了霜层孔隙率变化时通道弯曲程度的变化，以及这种变化对于水蒸气扩散的影响。

(2) 求得水蒸气在霜层中的有效扩散系数表达式为：

(3) 当霜层的孔隙率ε较小时，霜层中孔隙直径较小且通道较为弯曲，因此，有效扩散系数增长较缓慢；当ε较大时，小孔隙有可能合并为较大孔隙，导致通道弯曲程度变小，故有效扩散系数增加较快；当ε=1时，意味着水蒸气对空气扩散；当ε=0时，意味着空间完全被冰晶体占据，本模型在ε=1和ε=0这2种情况下同样有效。

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