对一道高考题的解法辨析

陈其跃

(宁波市镇海中学,浙江宁波 315200)

题目.(2009年江苏卷)如图1所示,两质量相等的物块 A、B通过一轻质弹簧连接,B足够长、放置在水平面上,所有接触面均光滑.弹簧开始时处于原长,运动过程中始终处在弹性限度内.在物块 A上施加一个水平恒力,A、B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中,下列说法中正确的有

(A)当 A、B加速度相等时,系统的机械能最大.

(B)当 A、B加速度相等时,A、B的速度差最大.

(C)当 A、B的速度相等时,A的速度达到最大.

(D)当 A、B的速度相等时,弹簧的弹性势能最大.

图1

解析:选项(B)、(C)、(D)正确.对 A、B在水平方向受力分析,F1为弹簧的拉力,对 A有F-F1=maA,对 B 有F1=maB,在A物与B物第一次速度相等前的整个过程中A的合力(加速度)一直减小而B的合力(加速度)一直增大,在达到共同加速度之前 A的合力(加速度)一直大于B的合力(加速度),之后 A的合力(加速度)一直小于B的合力(加速度).两物体运动的 v-t图像如图2所示,t1时刻,两物体加速度相等,斜率相同,速度差最大,t2时刻两物体的速度相等,A速度达到最大值,两实线之间围成的面积有最大值即两物体的相对位移最大,弹簧被拉到最长;除重力和弹簧弹力外,恒力对系统做正功,系统机械能增加,t1时刻之后拉力依然做正功,即加速度相等时,系统机械能并非最大值.

该试题和解答均没有问题,但笔者在教学中学生提出了以下两个问题:①A的速度达到最大时对应A加速度为零,当 A、B的速度相等时,A的加速度为零吗?②当 A、B的速度再次相等时,(C)和(D)选项是否仍然正确?

笔者把该问题与物理竞赛辅导相结合,采用质心参考系定量解决了该问题.

取向右为正方向,设 A、B质量均为m,则 A和B质点系的质心加速度为

图2

质心速度为

在质心参考系中惯性力大小FA=FB=maC=,方向与F方向(也即aC方向)相反,A、B相对质心做简谐运动,质心把原弹簧分成左右两根弹簧,其等效劲度系数

当弹簧拉伸 x0时,处于平衡位置,

因此简谐运动振幅为

简谐运动角频率为

周期为

简谐运动最大速度为

A相对质心速度为

B相对质心速度为

A相对地面速度为

B相对地面速度为

由(2)、(8)～(12)式得

对(13)、(14)式求导得

弹簧形变量(拉伸量)为

总形变量为

图3

由(17)式得,当n为奇数时弹簧形变量最大,xm=弹簧弹性势能最大值 Epm=.n为偶数时弹簧弹性势能为零.

参考答案中 A、B两物体运动的v-t图像只是定性图像,定量图像如图3[取F=10 N,m=10 kg,k=500 N/m,有vA=0.5t+0.05sin(10t),vB=0.5t-0.05sin(10t)]、图 4[取 F=10 N,m=10 kg,k=5 N/m,有 vA=0.5t+0.5sint,vB=0.5t-0.5sint]所示.

由图3、图4可得 A、B两物体运动的v-t图像的特征与F、m、k的取值无关.

图4