在匀强磁场中导体自由下落运动问题的探究

单文忠

(湖南省株洲南方中学,湖南株州 412002)

如图1所示,水平匀强磁场在竖直方向足够长,有一金属导体在磁场中水平自由下落,问金属导体在下落过程中做怎样的运动?

在这个问题的探究中,有些学生认为金属导体做自由落体运动,原因是:“金属导体不在闭合电路中,虽切割磁感线但无感应电流,故不受安培力只受重力,所以金属导体做自由落体运动.”有些学生认为金属导体下落虽无感应电流,但有感应电动势,据公式 E=Blv可知,随着速度的增大,金属导体棒两端的电势差增大,金属导体中必有电荷移动,故其受安培力作用,所以金属导体做变加速或匀加速运动.

金属导体到底做怎样的运动,下面我们先来看2道例题.

图1

例1.(第10届全国中学生物理竞赛决赛题)如图2所示,在竖直放置的两平行光滑长直金属导轨的上端,接有一个电容为C的电容器,有一匀强磁场与两金属导轨平面垂直,磁感应强度为 B,现有一质量为 m,长为L的金属杆ef,在 t=0时由静止沿导轨下滑,试分析在电容器击穿前金属杆做怎样的运动,假设图中任何部分的电阻和电感均可忽略不计.

解析:分析题意,我们可先假定金属杆做加速度为a的匀加速直线运动,在任意时刻对杆有

图2

在极短时间Δt内,(1)式中电容器的充电电流为

其中Δq为电容器在Δt时间内所充电量,有

由(1)～(3)式得

即mg-CB2L2a=ma,故

(4)式表明金属杆ef做初速为零、加速度为a的匀加速直线运动.随着金属杆速度的增加,据公式 E=BLv可知,电容器两端的电压也增大,当电压增大到Ub时,电容器被击穿,金属杆的运动状态改变.事实上金属杆及导轨不可能没有电阻,故电容器被击穿后金属杆先做减速运动,最后做匀速运动.

例2.(第12届全国物理竞赛预赛题)假想有一水平方向的匀强磁场,磁感应强度 B很大,有一半径为R,厚度为d(d≪R)的金属圆盘,在此磁场中竖直下落,盘面始终位于竖直平面内并与磁场方向平行,如图3所示,试分析金属圆盘在此磁场中做怎样的运动?假定金属圆盘的电阻为零,并设金属圆盘的密度 ρ=9×103kg/m3,其介电常数为ε=9×10-12C2/N◦m2.

图3

图4

解析:如图4,金属圆盘下落过程中厚度d切割磁感线产生感应电动势,它自身可“等效”为例1中的电容器.设圆盘两个表面堆积等量异种电荷±Q.

电容器的电容为

电容器的带电荷量为

盘中电流为

对盘,由牛顿第二定律

由以上各式联立得

又因为

将(8)式代入(7)式得

可见金属圆盘做初速为零、加速度为 a的匀加速直线运动,并还可知:加速度a小于g,a越小B则越大.那么 a到底比g能小多少?现实生活中能做到吗?现在我们假设a比g小即

比较(9)、(10)两式代入数据可得:B=106T.从这个结果看,磁场要强到不可思议的程度,是做不到的.也就是说,金属圆盘自由下落的加速度非常接近g.

比较例1和例2及我们要解答的问题,不难发现它们其实是一种物理模型,金属导体杆可“等效”为金属圆盘,金属圆盘可“等效”为平行板电容器.而我们需要解答的问题与例2更为类似,只是金属导体比金属圆盘横截面积小得多,长度长一些而已,没有根本的区别,由例2的(9)式可得:金属导体应做自由落体运动.上面两类学生的观点都只是停留在认知表象,均不正确.