买多少盒才能收集齐

野口哲典

现在，商家的营销手段简直到了登峰造极的地步。比如，有的食品厂商会在糕点的盒子里附赠造型独特、制作精良的玩偶，其中不仅有卡通小动物和卡通人物，还有明星的卡通形象。与糕点相比，也许这些可爱的玩偶更加吸引人。

其实，这种附赠玩具的营销手段早已出现，只不过现在的厂商把它运用到了一个新的高度。包装盒中附赠的玩具不仅对小朋友有很强的吸引力，就连很多成年人也为之着迷。本来糕点是主要商品，玩具只是附赠品，但是现在看来，糕点似乎成了附赠品。

由于糕点的盒子里装入了玩具或玩偶，它不仅可以在超市的食品柜台销售，还可以在玩具店销售。由此可见，商家的这一营销手段还极大地扩展了商品的市场。

其实，这种营销手段的高明之处还包括以下两个方面：第一，附赠的玩偶是成套的，有的10种一套，有的20种一套，有的甚至更多；第二，从糕点的包装盒看不出里面装的是哪种玩偶，只有买回家打开包装盒才能知道。于是，那些想集齐一整套玩偶的人必须多多购买这种糕点。

此外，商家还会有意控制附赠玩偶中一种或几种的数量，降低它们出现的概率，从而加大集齐一整套玩偶的难度，而这恰恰能激发收集者的兴趣。于是，为了收集齐一整套10种玩偶，有人会买几十甚至上百盒的糕点。

接下来，我们将从概率学的角度研究一下，要收集齐一整套玩偶，平均需要买多少盒糕点。

假设，一套玩偶有两种。要集齐这两种玩偶，我们平均要买多少盒糕点？

为了便于计算，我们假设这两种玩偶出现的概率是相同的。只要买一盒糕点，我们就可以得到其中一种玩偶。之后再买糕点时，得到另一种玩偶的概率为 1/2。这就是说，再买两盒糕点就有可能得到另外一种玩偶。不过，这只是平均值，实际情况不一定如此。

我们再来看看更为复杂的情况。假设一套共有5种玩偶，那么要集齐一整套玩偶，平均要买多少盒糕点？我们同样假设5种玩偶出现的概率相同。

只要买一盒糕点，我们就可以得到第一种玩偶；再买糕点时，第二种玩偶出现的概率为 4/5，而4/5的倒数为5/4＝1.25，这也就是说平均要买1.25盒糕点才能得到第二种玩偶；同理，平均要买5/3≈1.67盒糕点才能得到第三种玩偶；第四种，5/2＝2.5盒；第五种，5/1＝5盒。因此，要集齐全部5种玩偶，平均要买：

1+1.25+1.67+2.5+5=11.42

因此，必须平均购买12盒糕点才可以集齐一整套5种玩偶。

如果一套有10种玩偶，平均要买29盒糕点才能集齐整套玩偶；如果一套有20种玩偶，则平均要买72盒糕点才能收集齐整套玩偶。我要反复强调的是，前面计算出来的只是平均值，并不是说实际购买这么多糕点就一定能集齐整套玩偶。不仅如此，实际上，商家还会有意降低某种玩偶出现的概率，于是要买更多的糕点才有可能集齐整套玩偶。

（陈圆摘自陕西师范大学出版社《每天懂一点成功概率学》一书）