Zernike多项式拟合用于低温光学镜头热集成分析

李其锴

(北京空间机电研究所,北京100076)

1 引言

随着空间技术的不断发展,对地观测、大气探测及天体探测等应用也不断地发展,这些应用大都需要探测器及其相关仪器来实现观测任务。在常规的对地观测中,红外遥感系统是对平均温度为300K的地球背景下的红外辐射进行探测,普通的常温光学系统就可满足要求,此时的红外遥感器的光机结构均处于常温环境,只是对红外探测器进行制冷。对于深空科学探测系统而言,红外遥感系统是以深空为背景,对弱暗的点目标进行探测,深空背景的平均温度约3.5K,光学系统本身的热辐射成了红外探测系统的主要热背景来源,极大地限制了系统的探测能力[1]。为了实现更高灵敏度的红外探测,必须降低光学系统本身的温度,减小背景的热辐射,提高系统灵敏度。工作在低温条件下的光学系统与常规的光学系统有很大的不同,当光学系统从室温降低至运行温度时,就会发生热变形,特别是光学组件面形的变化对光学成像品质有很大的影响,在光学组件面形由于热变形导致不规则之后,就不能够再使用一般的标准方程对其进行描述。此时最理想的描述光学组件面形变化的方法就是泽尼克(Zernike)多项式法。

2 Zernike多项式特点

Zernike多项式是F.Zernike在1934年构造的,后来由他本人以及Brinkman和Nijborer进一步研究得到发展。

在描述光学组件面形变化的方法中,Zernike多项式对光学波面的拟合精度最高,其本质的原因是Zernike多项式有几个特点:

1)Zernike多项式在单位圆上正交,即对于具有圆形光瞳镜面的系统,可将其归一化为单位圆。函数系的正交使不同多项式的系数相对独立,有利于消除偶然因素的干扰。

2)Zernike多项式自身所特有的旋转对称性,使之对光学问题的求解过程中一般均具有良好的收敛性。

3)Zernike多项式与初级像差有着一定的对应关系,并且与光学设计中的惯用的Seidel像差函数很容易建立联系,这也是以前为什么光学像差分析中常用到Zernike多项式的原因。

用Zernike多项式来拟合热弹性变形后光学组件面形,具有拟合误差小、物理意义明了等优点,并能够为Zemax光学软件所接受。Zernike多项式是理想结构分析与光学分析程序之间的接口工具。

极坐标形式Zernike多项式具体表达式为:

一般情况,Zernike多项式的前37项描述对于热变形面形来说就足够精确。

3 Zernike多项式拟合

为了得到精确的光学组件表面面形的变化数据,在进行多项式拟合之前需要进行几何建模、有限元划分、温度场分析以及面形热变形分析等一系列工作,其基本流程如图1所示。

图1 热分析流程图

在得到光学组件表面面形变化数据文件之后,通过Matlab软件对数据进行拟合,如果表面面形有m个节点,镜面用n项Zernike多项式表示为:

现有m个离散测量资料点wi(xi,yi),i=1,2,3…,m。令aij=Zij(xi,yi),i=1,2,3…,m;j=1,2,3…,n。

代入上式得到超定线性方程组(m＞n):

简记作 Aq=W,其中 A=(aij)为 m ×n矩阵,q=(q1,q2,…,qn)T,W=(w1,w2,…,wm)T。

4 应用实例

按Zernike多项式拟合方法对某微晶材料低温光学镜头进行光机热集成分析,应用的软件主要包括:SolidWorks(几何建模)、Patran(有限元分析)、Matlab(数据拟合)、Zemax(光学分析)。

首先,对该低温光学镜头进行几何建模以及有限元划分,使得结构模型中镜面上的节点与光学系统模型中的面相对应。该光学镜头结构的有限元模型如图2所示。

图2 光学镜头结构的有限元模型

对模型温度场进行分析,通过计算外热流等因素的影响,可以算出该低温光学镜头的实际工作温度范围。该分析应用的温度场范围为113～119K,即镜头前端温度为119K,后端温度为113K,以293K作为参考温度对该镜头进行热变形分析。为了突出表现温度对变形结果的影响,更好的让镜头模型随温度而自由膨胀或收缩,本文采用了前端点约束条件,温度场分布以及约束条件如图3所示。

图3 光学镜头温度场以及约束条件分布

为了控制光学系统成像品质不出现较大变化,在低温光学技术领域,目前常采用无热化设计方法。本文对该主光学装置模型的相关分析是在无热化设计基础上进行的。光学镜头所使用的微晶材料在低温环境(120K)时的材料属性如表1所示。

在上述条件下,通过分析软件Patran对该低温光学镜头进行热变形分析,并将用于Zernike多项式拟合的各镜面变形资料导出,表2列出了主镜镜面有限元节点中前7个节点的变形数据。

表1 微晶材料在低温时的材料属性

表2 镜面节点的变形数据 mm

对光学镜头各镜面节点的变形数据分别进行Zernike多项式拟合分析,得出拟合结果,并将其输入到.dat文件中,表3列出了主镜镜面Zernike多项式拟合系数。由于光学分析软件Zemax无法直接读取经过分析后的变形数据,为了能够更好的通过光学分析软件进行光学成像品质评价,需要对分析后的变形数据进行拟合,Zemax可以直接识别Zernike多项式拟合系数,Zernike多项式在热集成分析中就起到了连接作用,能够将面形的变形数据很好的输入到光学分析软件中,为变形分析后光学成像品质的评价奠定了基础。

表3 Zernike多项式拟合系数

将全部4个镜面节点变形数据拟合后的Zernike多项式系数以及镜间距的变化输入到光学分析软件Zemax中,将数据转化为变化后的面形,对变化后的光学系统的性能参数进行评价。通过光学分析软件Zemax还可以直接得出最佳像面位置以及热变形后光学系统的焦距,该低温光学镜头变形后最佳像面偏移量以及焦距变化量如表4所示。

表4 变形后最佳像面和焦距变化量

通过Zemax软件可以得到光学系统的原始和变形后的光学传递函数。为了说明变形后最佳像面的移动对光学系统成像品质的影响,本文不仅列出了初始设计光学系统同变形后光学系统的MTF曲线对比,还列出了变形后未调整最佳像面时和调整最佳像面后光学系统的MTF曲线。原始设计光学系统的光学传递函数如图4所示,变形后光学系统光学传递函数如图5所示。

图4 原始设计(常温装配时)光学传递函数

图5 低温变形后光学传递函数

从图4和图5(a)对比所示的光学传递函数值可以看出,低温光学镜头在装配温度为常温、工作温度为低温的情况下,光学系统的成像品质发生了很大变化,反映出温度变化对低温光学性能的影响是致命的。图5(b)是低温变形后调整最佳像面的光学镜头MTF曲线。从图5(a)和(b)的对比表明,即使对低温光学镜头进行无热化设计,热变形对最佳像面的影响仍是很显著的,需要对最佳像面进行调整才能保证工作时光学系统的成像品质。

5 结束语

由于光学系统在常温下装配完成之后,在空间低温环境使用的情况下必然会导致光学成像品质下降以及最佳像面发生位移等一系列连锁反应,所以低温光学系统的热集成分析就成为一种必要。而经过热集成分析后的变形数据无法直接说明变形给光学成像品质以及最佳像面带来的影响,这就需要对变形数据进行拟合,以便能够通过光学分析软件对光学像质进行评价。对变形数据进行拟合的方法很多,Zernike多项式的优点是拟合精度很高,并且能够很好的诠释光学像差。Zernike多项式拟合是热集成分析中至关重要的一部分,它是一个很好的热分析软件和光学分析软件的接口工具,能够使得光、机、热一体化分析更加容易实现。

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