具有接近容量限性能的可有效编码的QC-LDPC码

杨 洋，陈 超，白宝明，王新梅

(西安电子科技大学综合业务网理论及关键技术国家重点实验室 西安 710071)

基于上述事实，本文构造了一类有限域上的非二元准循环LDPC码，依赖于如何设计校验矩阵的系统部分，既可以构造列重为2的规则码，也可以构造非规则码。针对校验矩阵的特殊结构，本文给出了一种有效的编码算法，并给出了具体的电路实现，进而对编码复杂度进行分析。最后，考察了该类码与高阶调制相结合时的性能。

1 非二元准循环LDPC码

1.1 定义

出于实用性考虑，本文只讨论定义在二元扩域GF(2b)上的码，其中b是一个大于1的整数。一个GF(2b)上的(N,K)低密度校验码是一个码长为N、维数为K的线性码，并可通过一个由含有M≥N−K行、N列的校验矩阵描述。

定义GF(2b)上的准循环低密度校验码的校验矩阵为：

1.2 码优化技术

现有文献已从环特性和码距离特性两个方面给出了两种码优化技术。

文献[13]考察了M(H)中的环与H中的环的关系。

则该环在H中会产生L个长为2lr的环。

从定理1可以看出，通过优化移位因子，可以避免短环，从而改善码的环特性。

定理 2[9]对于校验矩阵中一个长为l的环，如图1所示，如果变量节点的度均为2，该环提供一个重量为l/2的码字，当且仅当：

图1 校验矩阵中一个长为l的环

从定理2可以看出，通过优化校验矩阵中的非零域元素，可以避免低码重码字，从而改善码的距离特性。

2 码构造和编码电路

2.1 码构造

考虑由下述校验矩阵定义的非二元准循环LDPC码：或非规则码。为了实现快速编码，对上述校验矩阵施加一些约束。

定理 3 如果

从式(5)中Hp部分的定义可以看出，在母矩阵中存在一个长为2m的环。对比式(3)和式(6)，该环在H中提供L个长为2m的环，通常m比较大，这些环不会影响迭代译码性能；对比式(4)和式(7)，这些环不提供低重量码字。

2.2 编码算法

2.3 编码电路和复杂度分析

根据上述算法，本文以一个实例说明编码是如何进行的。定义一个GF(16)上的(30,15)LDPC码，其校验矩阵：

上述编码过程可以通过移位寄存器电路实现，如图2所示。

表1 编码器的实现复杂度

3 仿真结果

使用本文提出的码结构，构造4个非二元准循环LDPC码，分别定义在GF(4)、GF(16)、GF(32)、GF(64)上，构造方法如下。

(1) 选取列重分布。使用经验结合仿真微调的方式选取列重分布。先根据经验选取两个初始分布，域的阶数越大，则重量为2 的列的比例越大，然后依该分布利用PEG方法[12]分别构造随机码，并通过仿真验证它们与高阶调制相结合时的性能。以性能好的分布为基准，通过微调得到两个新的分布，并重复上述方法验证性能，最后采用性能最好的分布。对于GF(64)上的码，直接采用列重为2的规则分布。

图3 性能曲线：受限容量限和Shannon限从左到右分别对应于1 bit/channel use、2 bit/channel use，3 bit/channel use和4 bit/channel use

4 结 束 语

本文提出了一类可有效编码的非二元准循环LDPC码。针对其校验矩阵的特殊结构，给出了一种递归编码算法，可以通过移位寄存器电路实现。分析表明该算法的计算复杂度随码长增加呈线性增长。根据所提出的码结构，构造了4个非二元准循环LDPC码，与高阶调制相结合，它们展现出接近Shannon限的性能。

[1] GALLAGER R G. Low density parity check codes[J]. IEEE Trans Inform Theory, 1962, 8(1): 21-28.

[2] MACKAY D J C, Neal R M. Near shannon limit performance of low density parity check codes[J]. IEE Electron Lett, 1996, 32(18): 1645-1646.

[3] LIVA G, SONG Shu-mei, LAN Lan, et al. Design of LDPC codes: a survey and new results[J]. Journal of Communication Software and Systems, 2006, 2(3): 191-211.

[4] 史治平, 朱 南, 李少谦. 一类广义RA码的优化设计方法[J]. 电子科技大学学报, 2008, 37(4): 481-484.SHI Zhi-ping, ZHU Nan, LI Shao-qian. Optimization design of a class of generalized RA codes[J]. Journal of University of Electronic Science and Technology of China, 2008, 37(4):481-484.

[5] DAVEY M C, MACKAY D. Low-density parity check codes over GF(q)[J]. IEEE Commun Lett, 1998, 2(6):165-167.

[6] DAVEY M C. Error-correction using low-density parity-check codes[D]. Cambridge: University of Cambridge,1999.

[7] SONG Shu-mei, ZHOU Bo, LIN Shu, et al. A unified approach to the construction of binary and nonbinary quasi-cyclic LDPC codes based on finite fields[J]. IEEE Trans Commun, 2009, 57(1): 84-93.

[8] ZHOU Bo, KANG Jing-yu, LIN Shu, et al. High performance non-binary quasi-cyclic LDPC codes on euclidean geometries[J]. IEEE Trans Commun, 2009, 57(5):1298-1311.

[9] POULLIAT C, FOSSORIER M, DECLERCQ D. Design of regular (2,dc)-LDPC codes over GF(q) using their binary images[J]. IEEE Trans Commun, 2008, 56(10): 1626-1635.

[10] HU Xiao-yu, ELEFTHERIOU E. Binary representation of cycle Tanner-graph GF(2b) codes[C]//Proc IEEE Intern Conf on Commun. Paris: [s.n.], 2004: 528-532.

[11] PENG Rong-hui, CHEN Rong-rong. Design of nonbinary quasi-cyclic LDPC cycle codes[C]//Proc Inform Theory Workshop. Salt Lake City: University of Utah, 2007:13-18.

[12] HU Xiao-yu, ELEFTHERIOU E, ARNOLD D M. Regular and irregular progressive edge-growth tanner graphs[J].IEEE Trans Inform Theory, 2005, 51(1): 386-398.

[13] MYUNG S, YOUNG K, KIM J. Quasi-cyclic LDPC codes for fast encoding[J]. IEEE Trans Inform Theory, 2005,51(8): 2894-2901.